Twierdzenie Jeżeli istnieją granice  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$   oraz c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to następujące granice istnieją                                                                                                                          $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[c\cdot f\left(x\right)\right],\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right],\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right],\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right],\underset{x\to x_0}{\lim }\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]$    i są równe  $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[c\cdot f\left(x\right)\right]=c\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$   $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$   $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$   $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$   $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)},\text{gdzie}\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\ne 0$

---

Twierdzenie                                                                                                                                                                                                        $\text{Jez˙eli}\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=g,\text{gdzie}g>0,\text{to}\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g}$

---

a)

Obliczamy podaną granicę i otrzymujemy 

$\underset{x\to 2}{\lim }\left[{\left(2x-3\right)}^5\left(x+5\right)\right]=\underset{x\to 2}{\lim }{\left(2x-3\right)}^5\cdot \underset{x\to 2}{\lim }\left(x+5\right)=$  

$={\left(\underset{x\to 2}{\lim }\left(2x-3\right)\right)}^5\cdot \underset{x\to 2}{\lim }\left(x+5\right)={\left(2\cdot 2-3\right)}^5\cdot \left(2+5\right)=1\cdot 7=7$   

---

b)

Obliczamy podaną granicę i otrzymujemy 

$\underset{x\to -1}{\lim }\left[{\left(5-x\right)}^2{\left(3x+2\right)}^3\right]=\underset{x\to -1}{\lim }{\left(5-x\right)}^2\cdot \underset{x\to -1}{\lim }{\left(3x+2\right)}^3=$  

$={\left(\underset{x\to -1}{\lim }\left(5-x\right)\right)}^2\cdot {\left(\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x+2\right)\right)}^3={\left(5-\left(-1\right)\right)}^2\cdot {\left(3\cdot \left(-1\right)+2\right)}^3=6^2\cdot {\left(-1\right)}^3=-36$  

---

c)

Zauważmy, że 

$\underset{x\to 4}{\lim }\left(2x+8\right)=2\cdot 4+8=16$  

zatem mamy 

$\underset{x\to 4}{\lim }\sqrt{2x+8}=\sqrt{16}=4$  

---

d)

Zauważmy, że 

$\underset{x\to -3}{\lim }\left[\left(1-x\right)\left(4-2x\right)\right]=\underset{x\to -3}{\lim }\left(1-x\right)\cdot \underset{x\to -3}{\lim }\left(4-2x\right)=$  

$=\left(1-\left(-3\right)\right)\cdot \left(4-2\cdot \left(-3\right)\right)=4\cdot 10=40$  

czyli 

$\underset{x\to -3}{\lim }\sqrt{\left(1-x\right)\left(4-2x\right)}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$  

---

e)

Zauważmy, że jeśli x dąży do 3 to mianownik ułamka nie dąży do zera, ponieważ 

$\underset{x\to 3}{\lim }{\left(5x-12\right)}^2={\left(\underset{x\to 3}{\lim }\left(5x-12\right)\right)}^2={\left(5\cdot 3-12\right)}^2=3^2=9$  

Zatem dostajemy, że 

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(4x-5\right)\left(2-x\right)}{{\left(5x-12\right)}^2}=\frac{\underset{x\to 3}{\lim }\left[\left(4x-5\right)\left(2-x\right)\right]}{\left(\underset{x\to 3}{\lim }{\left(5x-12\right)}^2\right)}=\frac{\underset{x\to 3}{\lim }\left(4x-5\right)\cdot \underset{x\to 3}{\lim }\left(2-x\right)}{{\left(\underset{x\to 3}{\lim }\left(5x-12\right)\right)}^2}=$  

$=\frac{\left(4\cdot 3-5\right)\cdot \left(2-3\right)}{{\left(5\cdot 3-12\right)}^2}=\frac{7\cdot \left(-1\right)}{3^2}=-\frac{7}{9}$  

---

f)

Zauważmy, że jeśli x dąży do 0 to mianownik ułamka nie dąży do zera, ponieważ 

$\underset{x\to 0}{\lim }\left[\left(7x-6\right)\left(x-12\right)\right]=\underset{x\to 0}{\lim }\left(7x-6\right)\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\left(x-12\right)=$  

$=\left(7\cdot 0-6\right)\cdot \left(0-12\right)=\left(-6\right)\cdot \left(-12\right)=72$  

Zatem dostajemy, że 

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x^2+5x-9}{\left(7x-6\right)\left(x-12\right)}=\frac{\underset{x\to 0}{\lim }\left(2x^2+5x-9\right)}{\underset{x\to 0}{\lim }\left[\left(7x-6\right)\left(x-12\right)\right]}=$  

$=\frac{\underset{x\to 0}{\lim }\left(2x^2+5x-9\right)}{\underset{x\to 0}{\lim }\left(7x-6\right)\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\left(x-12\right)}=\frac{2\cdot 0^2+5\cdot 0-9}{\left(7\cdot 0-6\right)\cdot \left(0-12\right)}=\frac{-9}{72}=-\frac{1}{8}$