UWAGA!!

Poniższe zadanie błędnie zostało umieszczone przez autorów zbioru w temacie "Obliczanie granicy funkcji w punkcie" . Powinno znajdować się w temacie "Granica funkcji  w nieskończoności". 

---

a)

W liczniku i mianowniku ułamka wyłączamy x w najwyższej potędze, czyli 

$\frac{5+2\sqrt{x}}{\sqrt{ax+7}}=\frac{\sqrt{x}\left(\frac{5}{\sqrt{x}}+2\right)}{\sqrt{x\cdot \left(a+\frac{7}{x}\right)}}=\frac{\sqrt{x}\left(\frac{5}{\sqrt{x}}+2\right)}{\sqrt{x}\sqrt{a+\frac{7}{x}}}=\frac{\frac{5}{\sqrt{x}}+2}{\sqrt{a+\frac{7}{x}}}$  

Zatem otrzymujemy, że 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5+2\sqrt{x}}{\sqrt{ax+7}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{5}{\sqrt{x}}+2}{\sqrt{a+\frac{7}{x}}}=\left[\frac{0+2}{\sqrt{a+0}}\right]=\frac{2}{\sqrt{a}}$  

z drugiej strony wiadomo, że 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5+2\sqrt{x}}{\sqrt{ax+7}}=\frac{1}{4}$  

czyli 

$\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{1}{4}$  

$\sqrt{a}=8$  

$a=64$   

---

b)

Przekształcamy licznik ułamka, korzystając z zależności  $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$  

$\frac{\sqrt{a{x}^2+2}}{3x+a}=\frac{\sqrt{x^2\left(a+\frac{2}{x^2}\right)}}{3x+a}=\frac{\left|x\right|\sqrt{a+\frac{2}{x^2}}}{3x+a}$  

ponieważ x → - oo, to można przyjąć że x < 0, wówczas |x| = -x, czyli 

$\frac{\left|x\right|\sqrt{a+\frac{2}{x^2}}}{3x+a}=\frac{-x\sqrt{a+\frac{2}{x^2}}}{x\left(3+\frac{a}{x}\right)}=\frac{-\sqrt{a+\frac{2}{x^2}}}{3+\frac{a}{x}}$  

zatem mamy 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{a{x}^2+2}}{3x+a}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{a+\frac{2}{x^2}}}{3+\frac{a}{x}}=\left[\frac{-\sqrt{a+0}}{3+0}\right]=\frac{-\sqrt{a}}{3}$  

z drugiej strony wiadomo, że 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{a{x}^2+2}}{3x+a}=-2$  

czyli 

$\frac{-\sqrt{a}}{3}=-2$  

$-\sqrt{a}=-6$  

$\sqrt{a}=6$  

$a=36$