Definicja Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym (odpowiednio lewostronnym) sąsiedztwie S+(x0) (odpowiednio S-(x0)). Granicą prawostronną (odpowiednio lewostronną) funkcji f w punkcie x0 jest liczba g - co zapisujemy  $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=g\text{( odpowiednio}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=g\text{)}$   - wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) takiego, że  $x_n\in S_{+}\left(x_0\right)\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=x_0\text{( odpowiednio}{x}_n\in S_{-}\left(x_0\right)\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=x_0\text{)}$   prawdziwa jest równość  $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=g$

---

a)

W lewostronnym sąsiedztwie punktu 1 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left|x-1\right|}=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{-\left(x-1\right)}=\frac{\left(x-1\right)}{-1}=-x+1$  

czyli 

• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x+1\right)=-1+1=0$  

W prawostronnym sąsiedztwie punktu 1 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left|x-1\right|}=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)}=x-1$  

czyli 

• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-1\right)=1-1=0$  

Obie granice jednostronne funkcji f w punkcie 1 istnieją i są równe 0. 

Zatem granica funkcji f w punkcie 1 istnieje i jest równa 0

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=0$  

Przekształcając wzór funkcji f mamy 

$f\left(x\right)=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left|x-1\right|}=\frac{{\left|x-1\right|}^2}{\left|x-1\right|}=\left|x-1\right|$  

czyli 

$f\left(x\right)=\left|x-1\right|,x\ne 1$  

Szkicujemy wykres tej funkcji

---

b)

W lewostronnym sąsiedztwie punktu -2 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{4-x^2}{\left|2+x\right|}=\frac{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}{-\left(2+x\right)}=\frac{2-x}{-1}=x-2$  

czyli 

• $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(x-2\right)=-2-2=-4$  

W prawostronnym sąsiedztwie punktu -2 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{4-x^2}{\left|2+x\right|}=\frac{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}{\left(2+x\right)}=2-x=-x+2$  

czyli 

• $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(-x+2\right)=-\left(-2\right)+2=4$  

Obie granice jednostronne funkcji f w punkcie -2 istnieją ale są różne. 

Zatem granica funkcji f w punkcie -2 nie istnieje. 

Wzór funkcji f możemy zapisać jako 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x-2\text{,}\text{dla}x<-2\\ -x+2\text{,}\text{dla}x>-2\end{array}$  

Szkicujemy wykres tej funkcji

---

c)

W lewostronnym sąsiedztwie punktu 0 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{x^3-2x}{\left|x\right|}=\frac{x\left(x^2-2\right)}{-x}=-\left(x^2-2\right)=-x^2+2$  

czyli 

• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x^2+2\right)=0+2=2$  

W prawostronnym sąsiedztwie punktu 0 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{x^3-2x}{\left|x\right|}=\frac{x\left(x^2-2\right)}{x}=x^2-2$  

czyli 

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2-2\right)=0-2=-2$  

Obie granice jednostronne funkcji f w punkcie 0 istnieją ale są różne. 

Zatem granica funkcji f w punkcie 0 nie istnieje. 

Wzór funkcji f możemy zapisać jako  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-x^2+2\text{,}\text{dla}x<0\\ x^2-2\text{,}\text{dla}x>0\end{array}$  

Szkicujemy wykres tej funkcji

---

d)

W lewostronnym sąsiedztwie punktu 3 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{{\left|x-3\right|}^3}{{\left(x-3\right)}^2}+2=\frac{-{\left(x-3\right)}^3}{{\left(x-3\right)}^2}+2=-\left(x-3\right)+2=-x+5$  

czyli 

• $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(-x+5\right)=-3+5=2$  

W prawostronnym sąsiedztwie punktu 3 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{{\left|x-3\right|}^3}{{\left(x-3\right)}^2}+2=\frac{{\left(x-3\right)}^3}{{\left(x-3\right)}^2}+2=x-3+2=x-1$  

czyli 

• $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x-1\right)=3-1=2$  

Obie granice jednostronne funkcji f w punkcie 3 istnieją i są równe 2. 

Zatem granica funkcji f w punkcie 3 istnieje i jest równa 2

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=2$  

Przekształcając wzór funkcji f mamy 

$f\left(x\right)=\frac{{\left|x-3\right|}^3}{{\left(x-3\right)}^2}+2=\frac{{\left|x-3\right|}^3}{{\left|x-3\right|}^2}+2=\left|x-3\right|+2,x\ne 3$  

Szkicujemy wykres tej funkcji

---

e)

W lewostronnym sąsiedztwie punktu -2 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{{\left|2+x\right|}^3}{x+2}-1=\frac{-{\left(2+x\right)}^3}{\left(2+x\right)}-1=-{\left(2+x\right)}^2-1=-{\left(x+2\right)}^2-1$  

czyli 

• $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(-{\left(x+2\right)}^2-1\right)=-{\left(-2+2\right)}^2-1=-1$  

W prawostronnym sąsiedztwie punktu -2 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{{\left|2+x\right|}^3}{x+2}-1=\frac{{\left(2+x\right)}^3}{\left(2+x\right)}-1={\left(2+x\right)}^2-1={\left(x+2\right)}^2-1$  

czyli 

• $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left({\left(x+2\right)}^2-1\right)={\left(-2+2\right)}^2-1=-1$  

Obie granice jednostronne funkcji f w punkcie -2 istnieją i są równe -1. 

Zatem granica funkcji f w punkcie -2 istnieje i jest równa -1

$\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=-1$  

Wzór funkcji f możemy zapisać jako  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-{\left(x+2\right)}^2-1\text{,}\text{dla}x<-2\\ {\left(x+2\right)}^2-1\text{,}\text{dla}x>-2\end{array}$  

Szkicujemy wykres tej funkcji

UWAGA!!!

Odpowiedź podana na końcu zbioru do podpunktu e) jest błędna. 

Poprawna odpowiedź to: granica funkcji f w punkcie -2 istnieje i jest równa -1.

---

f)

W lewostronnym sąsiedztwie punktu 0 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|x\right|}=\frac{x^2-x}{-x}=\frac{x\left(x-1\right)}{-x}=-\left(x-1\right)=-x+1$  

czyli 

• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x+1\right)=0+1=1$  

W prawostronnym sąsiedztwie punktu 0 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|x\right|}=\frac{x^2+x}{x}=\frac{x\left(x+1\right)}{x}=x+1$  

czyli 

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=0+1=1$  

Obie granice jednostronne funkcji f w punkcie 0 istnieją i są równe 1. 

Zatem granica funkcji f w punkcie 0 istnieje i jest równa 1

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=1$  

Wzór funkcji f możemy zapisać jako 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-x+1\text{,}\text{dla}x<0\\ x+1\text{,}\text{dla}x>0\end{array}$  

Szkicujemy wykres tej funkcji