Definicja Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym (odpowiednio lewostronnym) sąsiedztwie S+(x0) (odpowiednio S-(x0)). Granicą prawostronną (odpowiednio lewostronną) funkcji f w punkcie x0 jest liczba g - co zapisujemy  $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=g\text{( odpowiednio}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=g\text{)}$   - wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) takiego, że  $x_n\in S_{+}\left(x_0\right)\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=x_0\text{( odpowiednio}{x}_n\in S_{-}\left(x_0\right)\text{i}\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=x_0\text{)}$   prawdziwa jest równość  $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=g$

---

a)

Zauważmy, że 

$16-x^2\ge 0\Rightarrow x^2\le 16\Rightarrow \left|x\right|\le 4\Rightarrow x\in ⟨-4,4⟩$  

czyli dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=2+\sqrt{16-x^2}$  

jest zbiór

$D=⟨-4,4⟩$  

czyli funkcja jest określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu 4. 

Obliczamy podaną granicę 

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(2+\sqrt{16-x^2}\right)=2+\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{\left(4-x\right)\left(4+x\right)}=2+\sqrt{0\cdot 8}=2$  

---

b)

Zauważmy, że 

$x^2-9\ge 0\Rightarrow x^2\ge 9\Rightarrow \left|x\right|\ge 3\Rightarrow x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨3,+\infty )$  

czyli dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=5x\sqrt{x^2-9}$  

jest zbiór

$D=(-\infty ,-3⟩\cup ⟨3,+\infty )$  

czyli funkcja jest określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu -3. 

Obliczamy podaną granicę 

$\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\left(5x\sqrt{x^2-9}\right)=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\left(5x\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)=5\cdot \left(-3\right)\cdot \sqrt{-6\cdot 0}=0$  

---

c)

Dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{5-x}{\sqrt{{\left(x-5\right)}^2}}=\frac{5-x}{\left|x-5\right|}$

jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{5\right\}$   

czyli funkcja jest określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu 5. 

W prawostronnym sąsiedztwie punktu 5 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{5-x}{\left|x-5\right|}=\frac{-\left(x-5\right)}{x-5}=-1$  

Zatem 

$\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{5-x}{{\sqrt{x-5}}^2}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\left(-1\right)=-1$  

---

d)

Zauważmy, że 

$2x+12\ge 0\Rightarrow x+6\ge 0x\ge -6$  

czyli dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x+12}-2}{x+4}$  

jest zbiór

$D=⟨-6;-4)\cup \left(-4;+\infty \right)$  

czyli funkcja jest określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu -6. 

Obliczamy podaną granicę 

$\underset{x\to -6^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+12}-2}{x+4}=\frac{\sqrt{-12+12}-2}{-6+4}=1$  

---

e)

Dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{{\sqrt{x+2}}^2}{x+2}=\frac{\left|x+2\right|}{x+2}$

jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$   

czyli funkcja jest określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu -2. 

W lewostronnym sąsiedztwie punktu -2 wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne, czyli funkcja f jest określona wzorem 

$f\left(x\right)=\frac{\left|x+2\right|}{x+2}=\frac{-\left(x+2\right)}{x+2}=-1$  

Zatem 

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{{\sqrt{x+2}}^2}{x+2}=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$  

---

f)

Dziedziną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{1-x}{x^2-1}$  

jest zbiór 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

czyli funkcja jest określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu 1. 

Przekształcając wzór funkcji otrzymujemy 

$f\left(x\right)=\frac{1-x}{x^2-1}=\frac{-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{-1}{x+1}$  

czyli 

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1-x}{x^2-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{-1}{x+1}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}$