II liceum

II technikum

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Przypomnijmy, że po przesunięciu funkcji f(x) o wektor <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/ae16bba7-cdb0-49c7-a013-31f525772db1_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
otrzymamy funkcję:  <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/1b7efd36-9988-43a9-a0ed-0545004b8bd2_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wiadomo, że wykres funkcji liniowej tworzy z osiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny równoramienny.
Możemy więc przyjąć, że długość przyprostokątnej otrzymanego trójkąta prostokątnego jest równa a &gt;0. 
Wówczas zauważmy, że szukana funkcja przecina oś ox w puncie (a, 0) lub (-a, 0) oraz przecina oś  oy w punkcie (0, a) lub (0, -a), co ilustruje poniższy rysunek 
<img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/196469/52str79.jpg" alt="" width="316" height="309">
Wiadomo, że pole otrzymanego trójkąta jest równe 5. 
Skąd dostajemy, że
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/65895477-1118-4a55-8d16-ac97d2bbdcfd_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/16457428-cc7e-4dc1-aa7c-61a8bcebc35a_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/39dab2a7-8de4-42a5-88f0-f1c4303a0163_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/39dab2a7-8de4-42a5-88f0-f1c4303a0163_small.svg" type="image/svg+xml"></object>   
więc
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/2303104c-2acb-483d-93b2-4a36d0436e7c_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Zatem szukana funkcja przechodzi przez punkty
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/301aff24-8ddc-487f-901a-90358c687ec1_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/301aff24-8ddc-487f-901a-90358c687ec1_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
lub
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/648e2b86-dae1-4269-bad5-1e164639cf6e_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/648e2b86-dae1-4269-bad5-1e164639cf6e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
lub
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/8c085925-dd2f-42c2-b95f-005601d548ac_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/8c085925-dd2f-42c2-b95f-005601d548ac_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
lub
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/c69b40d4-a417-4dc0-b337-327150a259e1_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/c69b40d4-a417-4dc0-b337-327150a259e1_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Ad.1) 
Wzór funkcji znajdziemy rozwiązując poniższy układ równań 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/4741d958-4573-4c72-9cbf-e66c97b095c7_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/4741d958-4573-4c72-9cbf-e66c97b095c7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/0d672ce2-0f6a-495a-96f2-11a66f0b9884_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/0d672ce2-0f6a-495a-96f2-11a66f0b9884_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/a84c4916-06c6-4ed4-8a8f-2c225cd8df3e_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/a84c4916-06c6-4ed4-8a8f-2c225cd8df3e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/d4d86f0b-47a4-4001-b5fb-309d16935d69_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
czyli 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/9a18e986-adba-4d55-96ae-98faf202bbe1_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Ad.2) 
Wzór funkcji znajdziemy rozwiązując poniższy układ równań 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/d4b5d4e1-9a6b-4b1c-ab3f-b3dbb90c93be_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/d4b5d4e1-9a6b-4b1c-ab3f-b3dbb90c93be_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/2b8fa52e-8424-4b25-b306-b13029e1158f_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/2b8fa52e-8424-4b25-b306-b13029e1158f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/64137763-d0c4-4cee-827e-6e5e93c020af_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/64137763-d0c4-4cee-827e-6e5e93c020af_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/adaf935c-5c5c-4631-9da2-3ee8b5eb45bc_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
czyli 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/89158951-c942-4612-845e-2bd246a28722_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Ad.3) 
Wzór funkcji znajdziemy rozwiązując poniższy układ równań 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/00c8d538-04be-47ed-ae92-2122a3c5c3a1_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/00c8d538-04be-47ed-ae92-2122a3c5c3a1_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/e1389b9c-8f7e-4fb1-8b38-bd538693b5c3_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/e1389b9c-8f7e-4fb1-8b38-bd538693b5c3_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/1c9a148b-715f-476a-b62a-55b614285135_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/1c9a148b-715f-476a-b62a-55b614285135_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/2b88d23e-739d-499e-a554-a9b0f897b962_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
czyli 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/abefc163-1e74-46a1-9f5e-1b8da74caffe_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Ad.4) 
Wzór funkcji znajdziemy rozwiązując poniższy układ równań 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/4cc8740f-34f1-4228-9bae-fa3279b6dfcc_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/4cc8740f-34f1-4228-9bae-fa3279b6dfcc_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/f3d3932b-669e-4518-b433-f02675918f53_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/f3d3932b-669e-4518-b433-f02675918f53_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/9f3d2542-7ba0-4378-94f6-550e2d8401b5_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/9f3d2542-7ba0-4378-94f6-550e2d8401b5_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/b547533d-0f78-4945-b71a-6a3add03cfab_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/b547533d-0f78-4945-b71a-6a3add03cfab_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
czyli 
 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/4e1a329f-9d99-42b9-a430-4a68c9e16d4c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
Zatem szukany wykres funkcji to
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/07955900-5816-4c4e-a9d1-9221516cb828_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200827/07955900-5816-4c4e-a9d1-9221516cb828_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

a) Dana jest funkcja
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/098b6f4c-3f9f-4317-8821-02c9e318b54e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
gdzie m jest liczbą nieparzystą. 
Zauważmy, że

Zauważmy, że punkty wspólne wykresów f(x) i g(x) wyznaczymy rozwiązując poniższy układ równań 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201201/6af9d634-587e-4297-be79-1a3e6e200081_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201201/6af9d634-587e-4297-be79-1a3e6e200081_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
skąd dostajemy, że

Dana jest funkcja określona wzorem 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/ab1756f7-d1ad-481e-92da-58e9f94ac8e5_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/ab1756f7-d1ad-481e-92da-58e9f94ac8e5_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Niech  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/00c62138-fabd-4f6c-bd6e-b6c1dea14f32_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/00c62138-fabd-4f6c-bd6e-b6c1dea14f32_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
wtedy
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/da1ac757-10e8-4921-b5f8-7cbb193ec76d_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/da1ac757-10e8-4921-b5f8-7cbb193ec76d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Zauważmy, że wówczas

Przypomnijmy, że po przesunięciu wykresu funkcji f(x) o wektor 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/9dc42b9d-0c4a-412b-bf42-cae89ec59de7_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
otrzymujemy wykres funkcji g(x) postaci  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/a3c85cbc-f0d4-492d-a97b-85dafd071743_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
a) Zauważmy, że jeśli przesuwamy wykres funkcji f o wektor 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/bc62efc3-e3e5-49c1-94d7-05249d6b3b91_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
to oznacza, że wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w dół (równolegle do osi ox). 
Korzystając z powyższego wzoru dostajemy, że tak otrzymana funkcja g wyraża się wzorem
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/c2077c05-ae63-42c9-bea4-92bdcdb70035_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/c2077c05-ae63-42c9-bea4-92bdcdb70035_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
Zatem 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/e534c44f-38f8-4919-9820-6c0b8b4a35bf_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/e534c44f-38f8-4919-9820-6c0b8b4a35bf_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/1c704b06-6189-47c8-82db-1de0204d71d2_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/1c704b06-6189-47c8-82db-1de0204d71d2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
b) Zauważmy, że jeśli przesuwamy wykres funkcji f o wektor 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/ce41f76c-9174-411c-885b-adf0de3c18f7_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
to oznacza, że wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w lewo (równolegle do osi oy). 
Korzystając z powyższego wzoru dostajemy, że tak otrzymana funkcja g wyraża się wzorem
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/d4d4c30d-8f12-4ccf-8ddc-0be74401aa47_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/d4d4c30d-8f12-4ccf-8ddc-0be74401aa47_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Zatem
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/3235d61e-7f17-4b57-a0eb-d12846ed9612_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/3235d61e-7f17-4b57-a0eb-d12846ed9612_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/085242df-b299-4b7f-824c-7d2cfb8a8301_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/085242df-b299-4b7f-824c-7d2cfb8a8301_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/b03853e1-d1da-4b36-b293-9d17209ca30b_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/b03853e1-d1da-4b36-b293-9d17209ca30b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
c) Zauważmy, że jeśli przesuwamy wykres funkcji f o wektor 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/da374e4d-26f4-4cb0-aaac-8525bf1faa40_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
to oznacza, że wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo (równolegle do osi oy) i cztery jednostki w górę (równolegle do osi ox). 
Korzystając z powyższego wzoru dostajemy, że tak otrzymana funkcja g wyraża się wzorem
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/13ec5c29-13a8-4447-b5ba-30f1f1b491e3_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Zatem
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/eff09604-a54c-4b9b-9a81-ca7f69443bc4_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/eff09604-a54c-4b9b-9a81-ca7f69443bc4_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/8548c40a-5245-406d-aa60-160cb3eaca2f_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/8548c40a-5245-406d-aa60-160cb3eaca2f_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/0b0eed76-f6bf-42a4-a546-c0d76ccb7e14_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/0b0eed76-f6bf-42a4-a546-c0d76ccb7e14_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

1) Rozważmy  <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200828/57454d17-6c3e-4d9c-b95e-a0f0b294b944_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
dla tak określonych x zachodzi

Komentarze