Dana jest funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-5x+3\text{,}\text{dla}x<-2\\ -2x^2+5x-3\text{,}\text{dla}-2\le x<1\\ 4-3x^3\text{,}\text{dla}1\le x<3\\ \frac{1}{2}{x}^5\text{,}\text{dla}3\le x<7\\ -2\text{,}\text{dla}x\ge 7\end{array}$  

---

a) Zauważmy, że -3 < - 2 więc dla x = -3 stosujemy wzór y = -5x + 3, czyli 

$f\left(-3\right)=-5\cdot \left(-3\right)+3=15+3=18$

Zauważmy, że -2 ∈ <-2, 1) więc dla x = -2 stosujemy wzór y = -2x² + 5x -3, czyli 

$f\left(-2\right)=-2\cdot {\left(-2\right)}^2+5\cdot \left(-2\right)-3=-8-10-3=-21$

Zauważmy, że 1 ∈ <1, 3) oraz 2 ∈ <1, 3)  więc dla x = 1 i dla x = 2 stosujemy wzór y = 4 - 3x³

$f\left(1\right)=4-3\cdot 1^3=4-3=1$

$f\left(2\right)=4-3\cdot 2^3=4-3\cdot 8=4-24=-20$

Skąd dostajemy, że 

$f\left(-3\right)+f\left(-2\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)=18+\left(-21\right)+1+\left(-20\right)=19-41=-22$    

---

b) Zauważmy, że

$-\sqrt{2}\approx -1,4$

czyli -√2 ∈  <-2, 1) więc dla x = -√2 stosujemy wzór y = -2x² + 5x -3, czyli 

$f\left(-\sqrt{2}\right)=-2\cdot {\left(-\sqrt{2}\right)}^2+5\cdot \left(-\sqrt{2}\right)-3=-4-5\sqrt{2}-3=-7-5\sqrt{2}$

 Zauważmy, że

$\sqrt{2}\approx -1,4$

czyli √2 ∈  <1, 3) więc dla x = √2 stosujemy wzór y = 4 - 3x³

$f\left(\sqrt{2}\right)=4-3\cdot {\sqrt{2}}^3=4-6\sqrt{2}$

Skąd dostajemy, że 

$\frac{f\left(-\sqrt{2}\right)}{f\left(\sqrt{2}\right)}=\frac{-7-5\sqrt{2}}{4-6\sqrt{2}}\cdot \frac{4+6\sqrt{2}}{4+6\sqrt{2}}=\frac{\left(-7-5\sqrt{2}\right)\left(4+6\sqrt{2}\right)}{4^2-{\left(6\sqrt{2}\right)}^2}=$

$=\frac{-28-42\sqrt{2}-20\sqrt{2}-60}{16-36\cdot 2}=\frac{-88-62\sqrt{2}}{-56}=\frac{-2\left(44+31\sqrt{2}\right)}{-2\cdot 28}=\frac{44+31\sqrt{2}}{28}$     

---

c) Zauważmy, że 4 ∈ <3, 7) więc dla x = 4 stosujemy wzór y = ¹/₂x⁵, czyli 

$f\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot 4^5=\frac{1}{2}\cdot 1024=512$

Zauważmy, że

$4+\pi \approx 4+3,14=7,14>7$  

więc dla x = 4+π stosujemy wzór y = -2, czyli

$f\left(4+\pi \right)=-2$  

Skąd dostajemy, że 

$f\left(4\right)-f\left(4+\pi \right)=512+2=514$    

---

d) Zauważmy, że 0 ∈  <-2, 1) więc dla x = 0 stosujemy wzór y = -2x² + 5x -3, czyli 

$f\left(0\right)=-3$

Zauważmy, że

$2\sqrt{2}\approx 2\cdot 1,4=2,8$  

czyli 2√2 ∈  <1, 3) więc dla x = 2√2 stosujemy wzór y = 4 - 3x³, czyli 

$f\left(2\sqrt{2}\right)=4-3\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^3=4-3\cdot 8\cdot 2\sqrt{2}=4-48\sqrt{2}$  

 Zauważmy, że

$1-\sqrt{10}\approx -2,2<-2$

więc dla x = 1 - √10 stosujemy wzór y = -5x + 3, więc

$f\left(1-\sqrt{10}\right)=-5\cdot \left(1-\sqrt{10}\right)+3=-5+5\sqrt{10}+3=5\sqrt{10}-2$

Skąd dostajemy, że 

$\frac{f\left(0\right)+f\left(2\sqrt{2}\right)}{f\left(1-\sqrt{10}\right)-5\sqrt{10}}=\frac{-3+4-48\sqrt{2}}{5\sqrt{10}-2-5\sqrt{10}}=$

$=\frac{1-48\sqrt{2}}{-2}=\frac{-1\left(48\sqrt{2}-1\right)}{-2}=\frac{48\sqrt{2}-1}{2}$