Zbadamy teraz monotoniczność funkcji  $f\left(x\right)=x^5-\frac{4}{3}{x}^3+x>0.$  

Wyznaczamy pochodną funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=5x^4-4x^2+1$  

Sprawdzamy, kiedy  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$5x^4-4x^2+1>0$  

$5\left(x^4-\frac{4}{5}{x}^2+\frac{4}{25}\right)+\frac{5}{25}>0$  

$5{\left(x^2-\frac{2}{5}\right)}^2+\frac{1}{5}>0$  

Kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej jest liczbą dodatnią. Powyższa nierówność jest zatem spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą  $x.$  Oznacza to, że funkcja  $f$  jest rosnąca w zbiorze  $\mathbb{R}.$  

Obliczmy wartość funkcji  $f$  w punkcie  $x=0.$  

$f\left(0\right)=5\cdot 0^4-4\cdot 0^2+1=0-0+1=1$  

Funkcja  $f$  jest rosnąca w zbiorze  $\mathbb{R},$  a wartość tej funkcji dla $x=0$  jest liczbą większą od 0. Oznacza to, że dla  $x\in \left(0;+\infty \right)$  spełniona jest nierówność  $f\left(x\right)>0,$  czyli  $x^5-\frac{4}{3}{x}^3+x>0.$