$\text{a)}$  

Wyznaczmy pochodną funkcji  $f\left(x\right)=2x^2+2x-24.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x+2$  

Szkicujemy wykres pochodnej funkcji  $f.$  

Z wykresu pochodnej funkcji odczytujemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right),$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\frac{1}{2};+\infty \right).$  
  
  

Otrzymane wyniki przedstawmy w tabeli.

$x$	$\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$	$-\frac{1}{2}$	$\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$
$y=f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$
$y=f\left(x\right)$	$\searrow$	$-24,5$	$\nearrow$

Funkcja  $f$  jest:

• malejąca w przedziale  $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right),$   
• rosnąca w przedziale  $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right).$  

---

$\text{b)}$  

Wyznaczmy pochodną funkcji  $f\left(x\right)=x^3-2x+1.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-2$  

Rozwiązujemy nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  oraz  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$\left(1\right)f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$3x^2-2>0$  

$3x^2>2$  

$x^2>\frac{2}{3}$  

$\left|x\right|>\sqrt{\frac{2}{3}}$  

$x>\sqrt{\frac{2}{3}}\text{lub}x<-\sqrt{\frac{2}{3}}$  

$\left(2\right)f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  

$3x^2-2<0$  

$3x^2<2$  

$x^2<\frac{2}{3}$  

$\left|x\right|<\sqrt{\frac{2}{3}}$  

$x<\sqrt{\frac{2}{3}}\text{i}x>-\sqrt{\frac{2}{3}}$  

Otrzymane wyniki przedstawmy w tabeli.

$x$	$\left(-\infty ;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$	$-\sqrt{\frac{2}{3}}$	$\left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$	$\sqrt{\frac{2}{3}}$	$\left(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty \right)$
$y=f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y=f\left(x\right)$	$\nearrow$	$\frac{4\sqrt{6}+9}{9}$	$\searrow$	$\frac{9-4\sqrt{6}}{9}$	$\nearrow$

Funkcja  $f$  jest:

• rosnąca w przedziałach: $\left(-\infty ;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$  oraz  $\left(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty \right),$  
• malejąca w przedziale  $\left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}}\right).$  

---

$\text{c)}$  

Dziedziną funkcji  $f$  oraz pochodnej funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby -3, czyli

$D_f=D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\text{}\left\{3\right\}$   

Wyznaczmy pochodną funkcji  $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+3}.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right){}^{\prime }\cdot \left(x+3\right)-\left(x-1\right)\cdot \left(x+3\right){}^{\prime }}{{\left(x+3\right)}^2}=\frac{1\cdot \left(x+3\right)-\left(x-1\right)\cdot 1}{{\left(x+3\right)}^2}=$  

$=\frac{x+3-\left(x-1\right)}{{\left(x+3\right)}^2}=\frac{x+3-x+1}{{\left(x+3\right)}^2}=\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}$  

Rozwiązujemy nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  oraz  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$\left(1\right)f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}>0$  

$x\in \mathbb{R}$  

$\left(2\right)f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  

$\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}<0$  

$x\in \varnothing$  

Funkcja  $f$  jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ;-3\right)$  oraz  $\left(-3;+\infty \right).$