Zapiszmy równanie danego okręgu:

$x^2+y^2=9$  

 

Chcemy, aby ten okrąg miał dokładnie 2 punkty wspólne z prostą o równaniu:

$y=mx+\left(2m+3\right)$  

 

Podstawmy  $y$   z równania prostej do równania okręgu:

$x^2+{\left(mx+\left(2m+3\right)\right)}^2=9$   - chcemy, aby otrzymane równanie kwadratowe posiadało dokładnie 2 rozwiązania.

 

Na początku przekształćmy je do prostszej postaci:

$x^2+m^2{x}^2+2mx\left(2m+3\right)+{\left(2m+3\right)}^2=9$  

 

$x^2+m^2{x}^2+4m^{2}x+6mx+4m^2+12m+9=9$  

 

$x^2\left(1+m^2\right)+x\left(4m^2+6m\right)+4m^2+12m=0$  

 

Aby równanie kwadratowe miało 2 rozwiązania, jego wyróżnik musi być dodatni:

$\Delta >0$  

 

$\Delta ={\left(4m^2+6m\right)}^2-4\left(1+m^2\right)\left(4m^2+12m\right)=16m^4+48m^3+36m^2-4\left(4m^2+12m+4m^4+12m^3\right)=$  

 

$=16m^4+48m^3+36m^2-16m^2-48m-16m^4-48m^3=$  

 

$=20m^2-48m=4m\left(5m-12\right)$  

 

$4m\left(5m-12\right)>0$  

 

Miejsca zerowe:

$m_1=0$  

 

$5m-12=0$  

$5m=12\mid :5$  

$m=\frac{12}{5}$  

 

Szkic paraboli:

Interesuje nas, dla jakich m parabola leży nad osią.             

Czyli rozwiązaniem jest zbiór:

$\underline{m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{12}{5},\infty \right)}$