$y=ax+b$   - równanie prostej w postaci kierunkowej.

 

$a=\mathrm{tg}\alpha$  , gdzie  $\alpha$   jest kątem nachylenia prostej do osi OX.

 

Chcemy, by nasza prosta była nachylona pod kątem  ${60}^{\circ }$   - czyli:

$a=\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$  

 

$y=\sqrt{3}x+b$   

 

Przekształćmy to równanie do postaci ogólnej:

$-\sqrt{3}x+y-b=0\mid \cdot \left(-1\right)$   

 

$\sqrt{3}x-y+b=0$   

 

Prosta jest styczna do okręgu, kiedy odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi okręgu.

Środek okręgu ma współrzędne:

$\left(4,0\right)$  

 

Odległość środka okręgu od prostej jest równa:

$d=\frac{\left|\sqrt{3}\cdot 4-1\cdot 0+b\right|}{\sqrt{{\sqrt{3}}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|4\sqrt{3}+b\right|}{\sqrt{3+1}}=\frac{\left|4\sqrt{3}+b\right|}{2}$  

 

Promień okręgu jest równy:

$r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

 

Zapiszmy i rozwiążmy równanie:       

$\frac{\left|4\sqrt{3}+b\right|}{2}=2\sqrt{3}\mid \cdot 2$  

 

$\left|4\sqrt{3}+b\right|=4\sqrt{3}$  

 

Rozpatrujemy przypadki:

1)   

$4\sqrt{3}+b=4\sqrt{3}$  

$b=0$  

 

2)

$4\sqrt{3}+b=-4\sqrt{3}$  

$b=-8\sqrt{3}$  

 

 

A więc warunki zadania spełniają dwie proste:

$y=\sqrt{3}x$  

Oraz

$y=\sqrt{3}x-8\sqrt{3}$