$x^2-2mx-m^2-2m+4=0$  

 

---

Do rozwiązania tego zadania skorzystamy z wzorów Viete'a.

Jeśli mamy równanie kwadratowe:

$a{x}^2+bx+c=0$  

Które ma rozwiązania, to suma i iloczyn rozwiązań są równe:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$  

 

---

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy wyróżnik jest liczbą dodatnią.

$\Delta >0$  

 

Obliczmy, dla jakich wartości parametru m to równanie posiada dwa różne rozwiązania:

$\Delta ={\left(-2m\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-m^2-2m+4\right)=4m^2+4m^2+8m-16=8m^2+8m-16$  

 

$8m^2+8m-16>0\mid :8$  

$m^2+m-2>0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe:

${\Delta }_m=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=3$  

$m_1=\frac{-1-3}{1\cdot 2}=-\frac{4}{2}=-2$  

$m_2=\frac{-1+3}{1\cdot 2}=\frac{2}{2}=1$  

Parabola ma ramiona skierowane w górę. Naszkicujmy ją:

         

Interesuje nas część paraboli nad osią, a więc:

$\underline{m\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;\infty \right)}$    - dla takich wartości parametru m mamy dwa różne rozwiązania.

---

 

Chcemy, aby oba rozwiązania były liczbami ujemnymi - czyli iloczyn rozwiązań musi być liczbą dodatnią, a suma rozwiązań liczbą ujemną.

$x_1+x_2<0$  

$x_2\cdot x_2>0$    

 

Skorzystajmy z wzorów Viete'a do zapisania sumy i iloczynu rozwiązań:

$x_1+x_2=\frac{2m}{1}=2m$   

$x_1+x_2<0$  

$2m<0$  

$m<0$   

$\underline{m\in \left(-\infty ;0\right)}$    -  dla takich wartości parametru m suma rozwiązań jest liczbą ujemną

   

 

$x_1\cdot x_2=\frac{-m^2-2m+4}{1}$  

$x_1\cdot x_2>0$  

$-m^2-2m+4>0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$m^2+2m-4<0$  

Miejsca zerowe:

${\Delta }_m=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=4+16=20$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

$m_1=\frac{-2-2\sqrt{5}}{2}=-1-\sqrt{5}$  

$m_2=\frac{-2+2\sqrt{5}}{2}=-1+\sqrt{5}$  

Parabola ma ramiona skierowane w górę - naszkicujmy ją:

           

Interesuje nas to, co znajduje się pod osią, czyli:

$m\in \left(-1-\sqrt{5};-1+\sqrt{5}\right)$   - dla takich wartości parametru m iloczyn rozwiązań jest dodatni. 

Chcemy, aby jednocześnie suma rozwiązań była liczbą ujemną, oraz iloczyn był liczbą dodatnią, a więc:

$m\in \left[\left(-\infty ;0\right)\right]\cap \left(-1-\sqrt{5};-1+\sqrt{5}\right)=\underline{\left(-1-\sqrt{5};0\right)}$    - dla takich wartości parametru m oba rozwiązania są ujemne.

Uwzględniając założenie △ > 0 mamy 

$\underline{\mathbf{m}\in \left(-1-\sqrt{5};-2\right)}$  

---

Chcemy również, aby zachodził warunek:

$\left|x_1-x_2\right|=4\sqrt{2}\mid {\left(\right)}^2$  

${\left(x_1-x_2\right)}^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2$  

$x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=16\cdot 2$  

$x_1^2+2x_1{x}_2+x^2-2x_1{x}_2-2x_1{x}_2=32$  

${\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=32$  

 

Wcześniej skorzystaliśmy z wzorów Viete'a do obliczenia sumy i iloczynu rozwiązań - podstawmy więc obliczone wyrażenia do tego równania.

${\left(2m\right)}^2-4\cdot \left(-m^2-2m+4\right)=32$  

$4m^2+4m^2+8m-16=32$  

$8m^2+8m-48=0\mid :8$  

$m^2+m-6=0$  

 

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$\underline{m_1=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3}\in \left(-1-\sqrt{5};-2\right)$    

 

$m_2=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2\notin \left(-1-\sqrt{5};-2\right)$   

 

Liczba  $m=-3$    spełnia wszystkie warunki, więc jest szukanym parametrem.