$\left|x^2-x\right|-\left|x-5\right|\le 3$     

 

Wyznaczmy przedziały, dla których wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są nieujemne:

$x^2-x\ge 0$  

$x\left(x-1\right)\ge 0$   

Miejsca zerowe:

$x=0$  

$x-1=0\to x=1$    

Parabola ma ramiona skierowana do góry, czyli ta nierówność jest spełniona dla:

$x\in (-\infty ;0⟩\cup ⟨1;\infty )$    

 

$x-5\ge 0$  

$x\ge 5$  

 

Zaznaczmy te przedziały na osi:

Mamy 3 przypadki:

1) Dla  $x\in (-\infty ;0⟩\cup ⟨1;5)$    liczba  $x^2-x$   jest nieujemna, a liczba 5-x jest ujemna;

2) Dla  $x\in \left(0,1\right)$   obie liczby pod wartościami bezwzględnymi są ujemne.

3) Dla  $x\in ⟨5;\infty )$   obie liczby pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie.

 

 

1)

$x\in (-\infty ;0⟩\cup ⟨1;5)$   

 

Po opuszczeniu znaków wartości bezwzględnej nasza nierówność wygląda następująco: 

$x^2-x+x-5\le 3$  

$x^2-8\le 0$  

$\left(x-\sqrt{8}\right)\left(x+\sqrt{8}\right)\le 0$    

$\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)\le 0$  

Parabola ma ramiona skierowane w górę, czyli rozwiązaniem nierówności jest:

$x\in ⟨-2\sqrt{2};2\sqrt{2}⟩$  

 

Rozpatrujemy przedział  $x\in (-\infty ;0⟩\cup ⟨1;5)$  , a więc zbiorem rozwiązań w tym przedziale jest część wspólna obu tych przedziałów, czyli:

$\underline{x\in ⟨-2\sqrt{2};0⟩\cup ⟨1;2\sqrt{2}⟩}$    

 

 

 

2)

$x\in \left(0,1\right)$     

 

Po opuszczeniu znaków wartości bezwzględnej nasza nierówność wygląda następująco: 

$-x^2+x+x-5\le 3$  

$-x^2+2x-8\le 0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x^2-2x+8\ge 0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=4-32=-28<0$     - wyróżnik jest mniejszy od zera, więc parabola nie ma miejsc zerowych.

Parabola ma ramiona skierowane w górę, wiec w całości znajduje się nad osią OX - a zatem na nierówność jest spełniana przez każdą liczbę rzeczywistą rozpatrywaną w tym zbiorze.

 

$\underline{x\in \left(0,1\right)}$   

 

 

3)

$x\in ⟨5;\infty )$  

      

 Po opuszczeniu znaków wartości bezwzględnej nasza nierówność wygląda następująco: 

$x^2-x-x+5\le 3$  

$x^2-2x+2\le 0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8<0$  - wyróżnik jest mniejszy od zera, więc parabola nie ma miejsc zerowych.

Parabola ma ramiona skierowane w górę, wiec w całości znajduje się nad osią OX

Czyli w rozpatrywanym przedziale żadna liczba rzeczywista nie spełnia danej nierówności.

 

 

Czyli zbiorem rozwiązań jest suma wyznaczonych zbiorów:

$x\in ⟨-2\sqrt{2};0⟩\cup ⟨1;2\sqrt{2}⟩\cup \left(0;1\right)=\underline{⟨-2\sqrt{2};2\sqrt{2}⟩}$