1 szkoły średniej

I liceum

I technikum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka

Przypomnijmy, że liczba przekątnych w n-kącie ( n∈N, n≥3 &nbsp;) wyraża się wzorem 2n(n−3)​ &nbsp; <hr> a) liczba przekątnych w siedmiokącie, to 27(7−3)​=2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='100%' height='1.0444em'><line x1='0' y1='100%' x2='100%' y2='0' stroke-width='0.046em'/></svg>​1​7⋅4<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='100%' height='1.0444em'><line x1='0' y1='100%' x2='100%' y2='0' stroke-width='0.046em'/></svg>​2​=14 &nbsp; <hr> b)&nbsp;liczba przekątnych w dwunastokącie, to 212(12−3)​=2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='100%' height='1.0444em'><line x1='0' y1='100%' x2='100%' y2='0' stroke-width='0.046em'/></svg>​1​12<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='100%' height='0.6444em'><line x1='0' y1='100%' x2='100%' y2='0' stroke-width='0.046em'/></svg>6⋅9​=54 &nbsp;

Przypomnijmy, że liczba przekątnych w n-kącie ( n∈N, n≥3 &nbsp;) wyraża się wzorem 2n(n−3)​ &nbsp;

Przypomnijmy, że liczba przekątnych w n-kącie ( n∈N, n≥3 &nbsp;) wyraża się wzorem 2n(n−3)​ <hr> a) chcemy znaleźć wielokąt, którego liczba przekątnych jest 6 razy większa od liczby boków, a więc musi zachodzić równość

Przypomnijmy, że suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa&nbsp; 180∘⋅(n−2) gdzie n oznacza liczbę boków wielokąta (n&nbsp;∈&nbsp;N, n &gt; 2)

Przypomnijmy, że <ul> <li>suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa&nbsp;</li> </ul>         180∘⋅(n−2) &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; gdzie n oznacza liczbę boków wielokąta ( n∈N,n&gt;2 &nbsp;&nbsp;)&nbsp; <ul> <li>liczba przekątnych w n-kącie ( n∈N, n≥3 &nbsp;) wyraża się wzorem</li> </ul>         2n(n−3)​ &nbsp;

Przypomnijmy, że suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa&nbsp; 180∘⋅(n−2) gdzie n oznacza liczbę boków wielokąta ( n∈N,n&gt;2 &nbsp;&nbsp;)&nbsp; <hr> a)&nbsp;zauważmy, że suma kątów wewnętrznych pięciokąta foremnego wynosi 180∘⋅(5−2)=180∘⋅3=540∘ Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i wszystkie kąty są równe, czyli kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego wynosi 540∘:5=108∘ &nbsp;&nbsp; <hr> b) zauważmy, że suma kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego wynosi 180∘⋅(10−2)=180∘⋅8=1440∘ ponieważ jest to figura foremna, to kąt wewnętrzny ma miarę 1440∘:10=144∘ &nbsp;&nbsp;

Przypomnijmy, że Konstrukcja symetralnej danego odcinka AB, przebiega następująco 1) Kreślimy dwa okręgi o promieniu większym niż połowa odcinka AB.&nbsp; Jeden o środku w punkcie A, drugi o środku w punkcie B. 2) Zaznaczamy punkty przecięcia się tych okręgów. Oznaczmy je przez C i D.&nbsp; 3)&nbsp;Kreślimy prostą przechodzącą przez punkty C i D. Punkt przecięcia prostej z odcinkiem AB oznaczmy przez S. Powstała prosta to symetralna odcinka AB.&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98647/4mVSjnvN7uXbcHB0xb7RKA%3D%3D_a49d269c93c7becd9366dc6c3dc16124c224c30078a3b5db742eebd7c804ec98.jpg" alt="" width="382" height="267"> <hr> Konstrukcja dwusiecznej danego kąta AOB przebiega następująco 1) Kreślimy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu r. Okrąg ten przecina ramiona kąta w punktach C i D.&nbsp; 2) Kreślimy okręgi o promieniach r i środkach odpowiednio w punktach C i D. Okręgi te przecinają się w punktach O i E.&nbsp; 3) Kreślimy półprostą OE, która jest dwusieczną kąta AOB. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98648/gJ12UIc8Xfx21gUaUiwwCg%3D%3D_3c22d51dfc166e4a2110a5f1ade8d7be83c7a10e89ee2fa3663a3cbc556c3e29.jpg" alt="" width="385" height="326"> &nbsp; <hr> a)&nbsp; Konstrukcja trójkąta równobocznego przebiega następująco

Przypomnijmy, że suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa&nbsp; 180∘⋅(n−2) gdzie n oznacza liczbę boków wielokąta ( n∈N,n&gt;2 &nbsp;&nbsp;)&nbsp; <hr> a) Zauważmy, że skoro każdy kąt szukanego wielokąta ma mieć miarę&nbsp;140⁰ to suma kątów wewnętrznych będzie równa

Przypomnijmy wypowiedź twierdzenia odwrotnego do&nbsp;twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych przeciętych trzecią prostą: Jeżeli dwie proste tworzą z trzecią prostą kąty naprzemianległe wewnętrzne równe, to są równoległe.&nbsp; <hr> Korzystając z faktu, że suma kątów przyległych jest równa 180⁰ oraz z tego, że suma kątów wewnętrznych w czworokącie wypukłym jest równa 360⁰ możemy wyznaczyć miary kątów na poniższym obrazku

Zauważmy, że n dowolnych punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie są współliniowe utworzy n-kąt: wklęsły lub wypukły.&nbsp; Jeśli n punktów tworzy n-kąt wypukły to zauważmy, że wszystkie odcinki łączące te punkty, możemy interpretować jako sumę boków i przekątnych tego wielokąta.&nbsp; Z kolei jeśli n punktów tworzy n-kąt wklęsły, to zauważmy, że zawsze można przekształcić go tak (np. przesuwając wybrane punkty), że powstanie n-kąt wypukły. Zwróćmy uwagę, że takie przekształcenie nie zmienia liczby wszystkich odcinków łączących n punktów. Ilustruje to przykład na rysunku poniżej

Zauważmy, że skoro na przyjęciu spotkało się 12 osób i każda osoba przywitała się z każdą inną osobą, to każdy gość na przyjęciu przywitał się 11 razy.&nbsp; Zwróćmy uwagę, że przywitanie osoby A z osobą B jest równocześnie przywitaniem osoby B z osobą A.&nbsp; Zatem dostajemy, że wszystkich przywitań było 212⋅11​=66 &nbsp;(iloczyn 12٠11 dzielimy przez 2 żeby wykluczyć dwukrotne liczenie tego samego powitania)

Zauważmy, że skoro na turnieju spotkało się 8 drużyn i każda z nich rozegrała po 2 mecze z każdą inną drużyną, to łączna liczba meczy rozegrana przez każdą z drużyn wynosi 7⋅2=14 &nbsp; Zwróćmy uwagę, że mecz drużyny A z drużyną B jest równocześnie meczem drużyny B z drużyną A.&nbsp;

Przypomnijmy, że konstrukcja symetralnej danego odcinka AB, przebiega następująco
1) Kreślimy dwa okręgi o promieniu większym niż połowa odcinka AB. 
Jeden o środku w punkcie A, drugi o środku w punkcie B.
2) Zaznaczamy punkty przecięcia się tych okręgów. Oznaczmy je przez C i D. 
3) Kreślimy prostą przechodzącą przez punkty C i D. Punkt przecięcia prostej z odcinkiem AB oznaczmy przez S.
Powstała prosta to symetralna odcinka AB. 
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98647/4mVSjnvN7uXbcHB0xb7RKA%3D%3D_a49d269c93c7becd9366dc6c3dc16124c224c30078a3b5db742eebd7c804ec98.jpg" alt="" width="342" height="239">
<hr>
a)
Rysowanie takiego sześciokąta może przebiegać następująco:

3 szkoły podstawowej

4 szkoły podstawowej

5 szkoły podstawowej

6 szkoły podstawowej

7 szkoły podstawowej

8 szkoły podstawowej

2 szkoły średniej

3 szkoły średniej

4 szkoły średniej

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Komentarze