$a)$     $\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+2}{x-4}=\frac{18}{x^2-5x+4}$   

Pamiętajmy, że mianownik ułamka nie może być równy $0$ ,

więc:

1) $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$  

2) $x-4\ne 0\Rightarrow x\ne 4$  

3) $x^2-5x+4\ne 0$  

Sprawdzimy, dla jakich $x$  lewa strona równania jest równa $0$ ,

następnie wyłączymy te punkty z dziedziny równania.   

$x^2-5x+4=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$  

$x_1=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb $1$  i $4$ , czyli $D=\mathbb{R}\text{}\left\{1,4\right\}$  .  

 

Przenieś wyrażenie na lewą stronę i zmień znaki na odwrotne

$\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+2}{x-4}-\frac{18}{x^2-5x+4}=0$  

Zapisz $x^2-5x+4$  jako $\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)$  

$\frac{4}{x+3}-\frac{3}{x+1}-\frac{2x-5}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)}=0$  

Zapisz w postaci jednego ułamka o wspólnym mianowniku równym $\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)$  

$\frac{\left(x-4\right)\cdot \left(x-3\right)+\left(x-1\right)\cdot \left(x+2\right)-18}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)}=0$  

Pomnóż nawiasy

$\frac{x^2-3x-4x+12+x^2+2x-x-2-18}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)}=0$  

Oblicz sumę wyrazów podobnych

$\frac{2x^2-3x-4x+12+2x-x-2-18}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)}=0$  

$\frac{2x^2-6x+12-2-18}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)}=0$  

$\frac{2x^2-6x-8}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)}=0$  

Wiemy, że wyrażenia $x-1$  i $x-4$  są różne od zera, zatem pomnóż obie strony równania przez $\left(x-1\right)\cdot \left(x-4\right)$  

$\left(2x^2-3x-4\right)=0$  

Wyłącz wspólny czynnik $2$  przed nawias

$2\left(x^2-3x-4\right)=0$  

Podziel obie strony równania przez $2$  

$x^2-3x-4=0$  

Rozwiąż równanie kwadratowe

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Rozwiązaniem równania $\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+2}{x-4}=\frac{18}{x^2-5x+4}$  jest tylko liczba $-1$ , 

ponieważ liczba $4$  nie należy do dziedziny równania.