Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Matematyka

Matematyka 2 Pazdro. Zbiór zadań do liceów i techników. Poziom rozszerzony (Zbiór zadań, OE Pazdro)

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=|2x+4|-x+1, gdzie... 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`f(x)=|2x+4|-x+1` 

`f(x)=|2(x+2)|-x+1` 

`f(x)=2|x+2|-x+1` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+2|={(x+2,\ "dla"\ xge-2),(-x-2,\ "dla"\ x < -2):}`  

Stąd:

`f(x)={(2(x+2)-x+1\ "dla"\ xge-2),(2(-x-2)-x+1\ "dla"\ x< -2):}` 

`f(x)={(x+5\ "dla"\ xge-2),(-3x-3\ "dla"\ x< -2):}` 

Szkicujemy wykres funkcji `f:` 

 

`"a)"` Równanie `f(x)=m:` 

`1)` nie ma rozwiązań dla `m in (-oo,\ 3),` 

`2)` ma dokładnie jedno rozwiązanie dla `m=3,` 

`3)` `m in (3,+oo).` 

 

`"b)"` Równanie `f(x)=k` ma dwa rozwiązania ujemne dla `k in (3,\ 5).` 

Zatem równanie `f(x)=-k` ma dwa rozwiązania ujemne dla `k in (-5,\ -3),` 

a równanie `f(x)=-k+1` ma dwa rozwiązania ujemne dla `k in (-4,-2).` 

 

`"c)"` Równanie `f(x)=a` ma dwa rozwiązania o różnych znakach dla `a in (5,+oo).` 

Zatem równanie `f(x)-2=a` ma dwa rozwiązania o różnych znakach dla `a in (3,+oo),` 

a równanie `f(x)-2=3a` ma dwa rozwiązania o różnych znakach dla `a in (1,+oo).` 

 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Nierówności

Nierówność jest to podobne do równania połączenie dwóch wyrażeń algebraicznych, w którym zamiast znaku równości występują znaki: „większy” (>), "mniejszy" ($$< $$), "większy równy" ($$≥$$), „mniejszy równy” ($$≤$$). Rozwiązywanie takiej nierówności jest bardzo podobne do rozwiązywania równania, a rozwiązaniem jest przeważnie zbiór liczb. Czasami jednak zdarza się, że rozwiązaniem może być tylko jedna liczba. Rozwiązania można przedstawić na osi liczbowej.

Przykłady nierówności:

  • $$2x-4<3$$
  • $$4y+20>15$$
  • $$3k+2≤10$$
  • $$ 4p-1≥3$$

Przedstawianie rozwiązań na osi liczbowej:

  • $$ x>3 $$

    przyklad1
  • $$x<3 $$

    przyklad2
  • $$x≤4$$

    przyklad3
  • $$x≥4$$

    przyklad4
Wykresy i nierówności
Przy okazji funkcji trygonometrycznych nie sposób nie wspomnieć o nierównościach z ich udziałem. Rozwiązywanie ich opiera się jednak głównie na metodzie graficznej: mając narysowany wykres możemy łatwo określić, jakie liczby spełniają daną nierówność.

Jako że nie ma tu jakiejś dodatkowej teorii, możemy przejść od razu do rozwiązywania przykładów.

Weźmy nierówność $$sin x$$ > $${1}/{2}$$.

1) Narysujmy wykres.

1

2) Zastanówmy się, dla jakich argumentów nierówność zamienia się w równość, tzn. dla jakich kątów ich sinus jest równy $${1}/{2}$$. Łatwo dostrzec, że jest tak na przykład dla kąta $${∏}{6} = 30°$$. Dalej, korzystając z wykresu, możemy sprawdzić, że musi tak być także dla x-a leżącego symetrycznie "po drugiej stronie" wzniesienia sinusa - czyli dla kąta $${5∏ }{6}$$ (punkty A i B na wykresie).

3) Z punktu 2 i wykresu wynika, że naszym rozwiązaniem jest przedział między $${∏}/{6}$$ a $${5∏}/{6}$$.

4) Funkcja jest okresowa, więc musimy wziąć pod uwagę wszystkie rozwiązania: jako że powtarzają się one co $$2∏$$, to ogólna postać rozwiązania to przediał od $${∏}/{6} + k×2∏$$ do $${5 ∏}/{6} + k×2∏$$, gdzie $$k$$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Te cztery punkty powinny nam umożliwić rozwiązanie dowolnej nierówności tego typu.

Weźmy inny przykład: $$ an ({∏}/{2} - x)$$ > $$1$$.

1) Jako że funkcja nie jest ładnie określona, najpierw spróbujemy doprowadzić ją do czystej postaci. Korzystając z poznanych już wzorów redukcyjnych możemy stwierdzić, że $$ an ({∏}/{2} - x) = ctg x$$.

(Przypomnienie: zmieniliśmy funkcję, ponieważ w kącie nie mieści się $$∏$$, nie zmieniliśmy znaku, ponieważ kąt leżał w I ćwiartce, w której tangens jest dodatni).

2) Rysujemy wykres.

2

3) Dla jakiego kąta cotangens jest równy 1? Oczywiście dla kąta prostego = $${∏}/{4}$$. Jako że cotangens jest funkcją różnowartościową (w obrębie jednego okresu), to naszym rozwiązaniem jest przedział od 0 do $${∏}/{4}$$.

4) Biorąc pod uwagę okresowość cotangensa trzeba dodać do rozwiązań okres: w wyniku powstaje przedział od $$k×∏$$ do $$k×∏ + {∏}/{4}$$ dla $$k$$ będącego dowolną liczbą całkowitą.
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom