W zadaniu będziemy korzystać z metody rozwiązywania układów równań za pomocą wyznaczników.

Przypomnijmy twierdzenie, które będzie nam potrzebne:

Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$  

$\left(1\right)$  ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli  $W\ne 0$   

$\{\begin{array}{l}x=\frac{W_x}{W}\\ y=\frac{W_y}{W}\end{array}$  

$\left(2\right)$  ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli  $W=W_x=W_y=0$  

$\left(3\right)$  nie ma rozwiązań, jeśli  $W=0\wedge \left(W_x\ne 0\vee W_y\ne 0\right),$ $W=0\wedge \left(W_x\ne 0\vee W_y\ne 0\right),$  

gdzie  $W=\left|\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ a_2{b}_2\end{array}\right|,W_x=\left|\begin{array}{c}{c}_1{b}_1\\ c_2{b}_2\end{array}\right|,W_y=\left|\begin{array}{c}{a}_1{c}_1\\ a_2{c}_2\end{array}\right|$   

$\{\begin{array}{l}\left(a+4\right)x+9y=5-a\\ x+\left(a+4\right)y=-4\end{array}$  

Obliczamy wyznaczniki:

$W=\left|\begin{array}{c}\left(a+4\right)9\\ 1\left(a+4\right)\end{array}\right|={\left(a+4\right)}^2-9=\left(a+4-3\right)\left(a+4+3\right)=\left(a+1\right)\left(a+7\right)$      

$W_x=\left|\begin{array}{c}\left(5-a\right)9\\ -4\left(a+4\right)\end{array}\right|=\left(5-a\right)\left(a+4\right)+36=5a+20-a^2-4a+36=-a^2+a+56=-\left(a^2-a-56\right)=-\left(a+7\right)\left(a-8\right)$      

$W_y=\left|\begin{array}{c}\left(a+4\right)\left(5-a\right)\\ 1-4\end{array}\right|=-4\left(a+4\right)-\left(5-a\right)=-4a-16-5+a=-3a-21=-3\left(a+7\right)$   

Sprawdzamy, dla jakich  $a$  wyznaczniki  $W,W_x$  i  $W_y$  są równe  $0:$   

• $W=0$  

$\left(a+1\right)\left(a+7\right)=0$  

$a=-1\vee a=-7$   

• $W_x=0$  

$-a^2+a+56=0\text{/}\cdot \left(-1\right)$  

$a^2-a-56=0$  

$a^2-8a+7a-56=0$  

$a\left(a-8\right)+7\left(a-8\right)=0$  

$\left(a+7\right)\left(a-8\right)=0$  

$a=-7\vee a=8$  

• $W_y=0$  

$-3\left(a+7\right)=0\text{/}:\left(-3\right)$  

$a+7=0$  

$a=-7$  

Zatem:

$1)$  Jeśli  $a\in \mathbf{R}-\left\{-7,-1\right\}$  to układ równań jest oznaczony i ma jedno rozwiązanie. Wyznaczmy je:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{-\left(a+7\right)\left(a-8\right)}{\left(a+7\right)\left(a+1\right)}=\frac{8-a}{a+1}\\ y=\frac{-3\left(a+7\right)}{\left(a+7\right)\left(a+1\right)}=-\frac{3}{a+1}\end{array}$  

$2)$  Jeśli  $a=-7,$  to układ równań jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczmy je, podstawiając a=-7 do dowolnego równania w układzie równań:

$x+\left(a+4\right)y=-4$  

$x+\left(-7+4\right)y=-4$  

$x-3y=-4$  

$-3y=-x-4\mid :\left(-3\right)$  

$y=\frac{x+4}{3}$  

Zatem dla a=-7 rozwiązaniami układu równań są wszystkie pary liczb postaci  $\left(x,\frac{x+4}{3}\right),x\in \mathbf{R}.$  

$3)$  Jeśli  $a=-1,$  to układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.