Rozwiązanie algebraiczne:

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=4\\ \left|x\right|-\left|y+1\right|=1\end{array}$  

Odejmujemy równania stronami.

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=4\\ \left|y\right|+\left|y+1\right|=3\end{array}$  

Rozwiązujemy równanie:

$\left|y\right|+\left|y+1\right|=3$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|y\right|=\{\begin{array}{ll}y& \text{dla}y\ge 0\\ -y& \text{dla}y<0\end{array}$  

$\left|y+1\right|=\{\begin{array}{ll}y+1& \text{dla}y\ge -1\\ -y-1& \text{dla}y<-1\end{array}$  

Stąd:

$\left|y\right|+\left|y+1\right|=\{\begin{array}{l}-y-y-1\text{dla}y<-1\\ -y+y+1\text{dla}-1\le y<0\\ y+y+1\text{dla}y\ge 0\end{array}$  

$\left|y\right|+\left|y+1\right|=\{\begin{array}{l}-2y-1\text{dla}y<-1\\ 1\text{dla}-1\le y<0\\ 2y+1\text{dla}y\ge 0\end{array}$

Mamy więc:

$\{\begin{array}{l}y\in \left(-\infty ,-1\right)\\ -2y-1=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y\in ⟨-1,0)\\ 1=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y\in ⟨0,+\infty )\\ 2y+1=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y\in \left(-\infty ,-1\right)\\ -2y=4\text{/}:\left(-2\right)\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y\in ⟨-1,0)\\ 1=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y\in ⟨0,+\infty )\\ 2y=2\text{/}:2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y\in \left(-\infty ,-1\right)\\ y=-2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y\in ⟨-1,0)\\ 1=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y\in ⟨0,+\infty )\\ y=1\end{array}$

Otrzymaliśmy:

$y=-2\vee y=1$  

Rozwiązujemy równanie  $\left|x\right|+\left|y\right|=4.$  

Dla  $y=-2$  mamy:

$\left|x\right|+2=4$  

$\left|x\right|=2$  

$x=-2\vee x=2$  

Dla  $y=1$  mamy:

$\left|x\right|+1=4$  

$\left|x\right|=3$  

$x=-3\vee x=3$  

W takim razie rozwiązaniami układu równań są cztery punkty o współrzędnych:

$\left(-2,-2\right),\left(2,-2\right),\left(-3,1\right),\left(3,1\right)$  

 

Rozwiązanie graficzne:

$\left|x\right|+\left|y\right|=4$  

$\left|y\right|=4-\left|x\right|$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|y\right|=\{\begin{array}{ll}y& \text{dla}y\ge 0\\ -y& \text{dla}y<0\end{array}$  

Stąd:

$-y=4-\left|x\right|,$   gdy  $y<0$  

$y=\left|x\right|-4,$  gdy  $y<0$  

$y=4-\left|x\right|,$  gdy  $y\ge 0$  

Niech:

$f\left(x\right)=\left|x\right|-4$  

$g\left(x\right)=4-\left|x\right|=-f\left(x\right)$  

 

$\left|x\right|-\left|y+1\right|=1$  

$\left|y+1\right|=\left|x\right|-1$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|y+1\right|=\{\begin{array}{ll}y+1& \text{dla}y\ge -1\\ -y-1& \text{dla}y<-1\end{array}$  

Stąd:

$-y-1=\left|x\right|-1,$  gdy  $y<-1$  

$y=\left|x\right|,$   gdy  $y<-1$  

$y+1=\left|x\right|-1,$   gdy  $y\ge -1$  

$y=\left|x\right|-2,$  gdy  $y\ge -1$  

Niech:

$h\left(x\right)=\left|x\right|$  

$k\left(x\right)=\left|x\right|-2$  

 

Szkicujemy wykresy funkcji  $f,g,h,k.$  

Punkty przecięcia prostych będą rozwiązaniami układu równań.