II liceum

II technikum

III technikum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Alina

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo stretchy="false" lspace="0em" rspace="0em">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{a}{)}</annotation></semantics></math>a)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mrow><mo fence="true">(</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo fence="true">)</mo></mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>1</mn><mo>⋅</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {\left({2}\cdot{1}-{1}\right)}{x}-{3}{y}={4}\\{1}\cdot{x}+{4}{y}=-{3}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{(2⋅1−1)x−3y=41⋅x+4y=−3​
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>⋅</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}-{3}{y}={4}\ \ \ {\mid}\cdot{\left(-{1}\right)}\\{x}+{4}{y}=-{3}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{x−3y=4   ∣⋅(−1)x+4y=−3​

Wyznaczamy punkt przecięcia dwóch pierwszych prostych: 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>5</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>⋅</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mo>−</mo><mn>3</mn><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {2}{x}-{3}{y}={5}\\{4}{x}-{y}={1}\ \ \ {\mid}\cdot{\left(-{3}\right)}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{2x−3y=54x−y=1   ∣⋅(−3)​
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>5</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>12</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>+</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {2}{x}-{3}{y}={5}\\-{12}{x}+{3}{y}=-{3}\end{array}\right.}\ \ \ {\mid}+</annotation></semantics></math>{2x−3y=5−12x+3y=−3​   ∣+

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi><mtext> </mtext><mo>−</mo><mtext> cena kg jabłek w hurtowni</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{j}\ -\ \text{cena kg jabłek w hurtowni}</annotation></semantics></math>j − cena kg jabłek w hurtowni
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mtext> </mtext><mo>−</mo><mtext> cena kg papryki w hurtowni</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{p}\ -\ \text{cena kg papryki w hurtowni}</annotation></semantics></math>p − cena kg papryki w hurtowni
 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>80</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>20</mn><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>328</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>120</mn><mi mathvariant="normal">%</mi><mo>⋅</mo><mi>j</mi><mo>⋅</mo><mn>5</mn><mo>+</mo><mn>125</mn><mi mathvariant="normal">%</mi><mo>⋅</mo><mi>p</mi><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>29</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {80}{j}+{20}{p}={328}\\{120}\%\cdot{j}\cdot{5}+{125}\%\cdot{p}\cdot{2}={29}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{80j+20p=328120%⋅j⋅5+125%⋅p⋅2=29​

Oznaczmy stężenie pierwszego roztworu przez x, a stężenie drugiego roztworu przez y:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>⋅</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>50</mn><mi mathvariant="normal">%</mi><mo>⋅</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>4</mn><mo>⋅</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mo>⋅</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>48</mn><mi mathvariant="normal">%</mi><mo>⋅</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>6</mn><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {2}\cdot{x}+{4}\cdot{y}={50}\%\cdot{\left({2}+{4}\right)}\\{4}\cdot{x}+{6}\cdot{y}={48}\%\cdot{\left({4}+{6}\right)}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{2⋅x+4⋅y=50%⋅(2+4)4⋅x+6⋅y=48%⋅(4+6)​
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mtext>   </mtext><mo lspace="0em" rspace="0em">∣</mo><mo>⋅</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4.8</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {2}{x}+{4}{y}={3}\ \ \ {\mid}\cdot{\left(-{2}\right)}\\{4}{x}+{6}{y}={4.8}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{2x+4y=3   ∣⋅(−2)4x+6y=4.8​

Niech szukana liczba będzie postaci ab, gdzie a i b to cyfry (0, 1, ..., 8, 9), oczywiście a nie może być równe 0. 
Wartość liczby ab to 10a+b (np. 23=2∙10+3)
 
Liczba powstała po przestawieniu cyfr to ba, jej wartość to 10b+a.
 
Zapiszmy informacje podane w treści zadania: 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo fence="true">{</mo><mtable rowspacing="0.1600em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>11</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>10</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>&gt;</mo><mn>33</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">%</mi><mrow><mo fence="true">(</mo><mn>10</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{\left\lbrace\begin{array}{c} {a}+{b}={11}\\{10}{b}+{a}&gt;{33}\frac{{1}}{{3}}\%{\left({10}{a}+{b}\right)}\end{array}\right.}</annotation></semantics></math>{a+b=1110b+a&gt;3331​%(10a+b)​
 
Zamieńmy procent na ułamek:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>33</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">%</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mn>100</mn><mn>3</mn></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow><mi mathvariant="normal">%</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>100</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⋅</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>100</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{33}\frac{{1}}{{3}}\%={\left(\frac{{100}}{{3}}\right)}\%=\frac{{100}}{{3}}\cdot\frac{{1}}{{100}}=\frac{{1}}{{3}}</annotation></semantics></math>3331​%=(3100​)%=3100​⋅1001​=31​

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mtext> </mtext><mo>−</mo><mtext> wiek dziadka obecnie</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{d}\ -\ \text{wiek dziadka obecnie}</annotation></semantics></math>d − wiek dziadka obecnie
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi><mtext> </mtext><mo>−</mo><mtext> wiek babci obecnie</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{b}\ -\ \text{wiek babci obecnie}</annotation></semantics></math>b − wiek babci obecnie
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>w</mi><mtext> </mtext><mo>−</mo><mtext> wiek wnuka obecnie</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{w}\ -\ \text{wiek wnuka obecnie}</annotation></semantics></math>w − wiek wnuka obecnie
 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mtext> </mtext><mo>−</mo><mtext> wiek dziadka 2 lata temu</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{d}-{2}\ -\ \text{wiek dziadka 2 lata temu}</annotation></semantics></math>d−2 − wiek dziadka 2 lata temu

Rysunek pomocniczy:
<img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/195823/zad1.242astr51.jpg" alt="" width="482" height="123">
<hr>
Oznaczmy:
vA - prędkość rowerzysty, który wyruszył z miasta A
vB - prędkość rowerzysty, który wyruszył z miasta B
Mamy dane:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mtext> h</mtext><mo>=</mo><mfrac><mn>9</mn><mn>8</mn></mfrac><mtext> h</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{t}_{{1}}={1}\frac{{1}}{{8}}\ \text{h}=\frac{{9}}{{8}}\ \text{h}</annotation></semantics></math>t1​=181​ h=89​ h 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>t</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mn>5</mn><mtext> h</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{t}_{{2}}={5}\ \text{h}</annotation></semantics></math>t2​=5 h   
<hr>
Obliczamy odległość, jaką przebył rowerzysta A w czasie t1:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>s</mi><mi>A</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>v</mi><mi>A</mi></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>t</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{s}_{{A}}={v}_{{A}}\cdot{t}_{{1}}</annotation></semantics></math>sA​=vA​⋅t1​

Komentarze