Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o kącie miedzy ramionami 120^o.

Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 4, stąd:

$\left|OA\right|=\left|OB\right|=\left|OC\right|=4$  

Zauważmy, że promień OC wyznacza dwa trójkąty równoboczne AOC oraz COB o bokach długości 4.

(są to trójkąty równoramienne, a kąt przy ich podstawach wynosi 60^o, więc muszą być równoboczne).

Odcinki DB oraz AD są wysokościami odpowiednio trójkątów COB i AOC.

Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym wyznaczamy długości odcinków DB i AD:

$\left|DB\right|=\left|AD\right|=\frac{{\sout{4}}^2\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=2\sqrt{3}$  

Wyznaczamy długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\left|AD\right|+\left|DB\right|=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$  

 

Odcinek OC dzieli kąt ACB na dwa kąty o mierze 60^o.

Z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkąta prostokątnego CDB) mamy:

$\left|\angle DBC\right|={30}^{\circ }$  

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90^o, 60^o i 30^o otrzymujemy:

 

$\left|CD\right|=2$

 

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P_{ABC}=\frac{\left|AB\right|\cdot \left|CD\right|}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot {\sout{2}}^1}{{\sout{2}}^1}=\underline{\underline{4\sqrt{3}\left[j^2\right]}}$