Matematyka

Autorzy:Drążek Anna, Duvnjak Ewa, Kokiernak-Jurkiewicz Ewa

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Wysokość czworościanu foremnego 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Czworościan foremny to ostrosłup, który ma cztery jednakowe ściany, a każda ściana jest trójkątem równobocznym. Oznaczmy długość krawędzi tego czworościanu jako a. 

Odcinek oznaczony na rysunku jako x stanowi dwie trzecie wysokości podstawy, czyli dwie trzecie wysokości trójkąta równobocznego o boku a. 

Znamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku a, więc możemy zapisać:

`x=strike2^1/3*(asqrt3)/strike2^1=(asqrt3)/3` 

 

Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać:

`x^2+(10sqrt6)^2=a^2` 

`((asqrt3)/3)^2+100*6=a^2` 

`(a^2*3)/9+600=a^2` 

`a^2/3+600=a^2\ \ \ \ \ |*3` 

`a^2+1800=3a^2\ \ \ \ |-a^2` 

`1800=2a^2\ \ \|:2` 

`a^2=900`  

`a=30\ cm`  

 

Znamy już długość krawędzi czworościanu. Możemy teraz obliczyć pole jednej ściany (wszystkie ściany są jednakowe, więc każda ściana może być podstawą) korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego o boku a:

`P_(Delta)=(a^2sqrt3)/4=(30^2sqrt3)/4=(900sqrt3)/4=(450sqrt3)/2=225sqrt3\ cm^2`  

 

Na pole powierzchni całkowitej składają się pola czterech takich ścian:

`P_c=4*225sqrt3\ cm^2=ul(ul(900sqrt3\ cm^2))` 

 

 

Obliczamy objętość czworościanu:

`V=1/3*P_p*H=1/3*225sqrt3\ cm^2*10sqrt6\ cm=` 

`\ \ \ =(2250sqrt18)/3\ cm^3=(2250*sqrt9*sqrt2)/3\ cm^3=` 

`\ \ \ =(2250*strike3^1*sqrt2)/strike3^1\ cm^3=2250sqrt2\ cm^3`