Matematyka

Matematyka wokół nas 2 (Zbiór zadań, WSiP)

Oblicz objętość i pole powierzchni 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Jeśli wszystkie krawędzie mają 6 cm, to ściany trójkątne są trójkątami równobocznymi, a ściany czworokątne są kwadratami. 

Na pole powierzchni składają się dwie kwadratowe ściany (z przodu i z tyłu) oraz 16 ścian trójkątnych (po 4 na każdym ostrosłupie doklejonym do sześcianu). 

Mamy wzór na pole trójkąta równobcznego o boku a:  

`P_(Delta)=(a^2sqrt3)/4`

Obliczamy więc pole powierzchni całkowitej bryły:

`P_c=2*6\ cm*6\ cm+strike16^4*((6\ cm)^2sqrt3)/strike4^1=2*36\ cm^2+4*36sqrt3\ cm^2=`

`\ \ \ =72\ cm^2+144sqrt3\ cm^2=ul(ul(72(1+2sqrt3) \ cm^2))`

 

 

Teraz chcemy obliczyć objętość bryły. Składa się na nią objętość sześcianu o krawędzi 6 cm oraz objętości czterech ostrosłupów prawidłowych czworokąnych o krawędzi podstawy 6 cm oraz krawędzi bocznej 6 cm. Do obliczenia objętości ostrosłupa potrzebna jest wysokość ostrosłupa. Obliczymy ją, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

Odcinek x to połowa przekątnej kwadratu o boku 6 cm. Mamy wzór na przekątną kwadratu o boku a:

`d=asqrt2`

Możemy więc łatwo obliczyć, jaką długość ma odcinek x:

`x=1/2*6sqrt2\ cm=3sqrt2\ cm`

 

Obliczamy, jaką długość ma wysokość ostrosłupa, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`(3sqrt2)^2+H^2=6^2`

`9*2+H^2=36`

`18+H^2=36\ \ \ |-18`

`H^2=18`

`H=sqrt18=sqrt9*sqrt2=3sqrt2\ cm`

 

 

Obliczamy objętość jednego ostrosłupa:

`V_("ostrosłupa")=1/strike3^1*6\ cm*6\ cm*strike3^1sqrt2\ cm=36sqrt2\ cm^3`

 

Na objętość bryły składają się objętości czterech takich ostrosłupów oraz objętość sześcianu o krawędzi 6 cm:

`V=4*36sqrt2\ cm^3+6\ cm*6\ cm*6\ cm=144sqrt2\ cm^3+216\ cm^3=ul(ul(72(2sqrt2+3)\ cm^3))`

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka wokół nas 2
Autorzy: Drążek Anna, Duvnjak Ewa, Kokiernak-Jurkiewicz Ewa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Ułamki właściwe i niewłaściwe
  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.
    Przykłady: $$3/8$$, $${23}/{36}$$, $$1/4$$, $$0/5$$.
     

  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.
    Przykłady: $${15}/7$$, $$3/1$$, $${129}/5$$, $${10}/5$$.
     

Obwód

Obwód wielokąta to suma długości boków danego wielokąta.

  1. Obwód prostokąta – dodajemy długości dwóch dłuższych boków i dwóch krótszych.

    Zatem prostokąt o wymiarach a i b ma obwód równy:
    Obwód prostokąta: $$Ob = 2•a+ 2•b$$.

    Przykład: Policzmy obwód prostokąta, którego boki mają długości 6 cm i 8 cm.

    ob_kwadrat

    $$Ob=2•8cm+2•6cm=16cm+12cm=28cm$$
     

  2. Obwód kwadratu – dodajemy długości czterech identycznych boków, zatem wystarczy pomnożyć długość boku przez cztery.

    Zatem kwadrat o boku długości a ma obwód równy:
    Obwód kwadratu: $$Ob = 4•a$$.

    Przykład: Policzmy obwód kwadratu o boku długości 12 cm.

    ob_prostokat

    $$Ob=4•12cm=48cm$$

 
Zobacz także
Udostępnij zadanie