Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Podaj przykład wielomianu o wyrazie ... 4.34 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

a) Szukamy wielomianu o wyrazie wolnym a0=2, który ma tylko jeden pierwiastek dwukrotny równy 3 i którego stopień jest równy 2. 

Szukamy wielomianu w(x) postaci:

`w(x)=ax^2+bx+2` 

Wiemy, że 3 ma być jedynym pierwiastkiem tego wielomianu, ponadto dwukrotnym. Zapiszmy ten wielomian w postaci iloczynowej.

`w(x)=a(x-3)^2` 

Rozpiszmy wielomain w(x) ze wzoru skróconego mnożenia:

`w(x)=a(x^2-6x+9)=ax^2-6ax+9a`  

Możemy porównać obie postacie ogólne:

`ax^2+bx+2=ax^2-6ax+9a` 

Współczynniki przy odpowiednich potęgach po prawej i lewej stronie równania muszą być sobie równe.

Wyraz wolny po lewej stronie równania to 2, a po prawej 9a. Możemy obliczyć a.

`2=9a` 

`a=2/9` 

Po lewej stronie równania współczynnik przy x to b, a po prawej stronie jest to -6a.

`b=-6a` 

Podstawmy obliczone powyżej a:

`b=-6*2/9=-4/3` 

Podstawmy a i b do wyjściowego wielomianu.

`w(x)=ax^2+bx+2=2/9x^2-4/3x+2` 

Szukany wielomian to:

`w(x)=2/9x^2-4/3x+2` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

b) Szukamy wielomianu o wyrazie wolnym a0=2, który ma tylko jeden pierwiastek dwukrotny równy 3 i którego stopień jest równy 4.

Przykładowy taki wielomian to:

`#underbrace((x^2+2/9))_("I czynnik")*#underbrace((x-3)^2)_("II czynnik")=(x^2+2/9)(x^2-6x+9)=x^4-6x^3+9x^2+2/9x^2-4/3x+ul(ul(2))`    

Uzasadnienie: Pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu ma być liczba 3, dlatego w postaci iloczynowej pojawia się wielomian oznaczony jako II czynnik (jest to wielomian stopnia 2, którego 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym).

Cały wielomian ma być stopnia czwartego, więc I czynnik iloczynu musi być wielomianem stopnia drugiego i nie posiadać pierwiastków (gdyż jedynym pierwiastkiem ma być 3).

Musimy pamiętąć, że wyraz wolny wielomianu, który chcemy otrzymać ma wynosić 2. 

Wyraz wolny II czynnika, wynosi 9, bo:

`(x-3)^2=x^2-6x+ul(ul(9))`  

Musimy tak dobrać wyraz wolny I czynnika, aby po wymnożeniu przez wyraz wolny II czynnika, czyli przez 9, otrzymać 2.

Stąd wyraz wolny I czynnika to 2/9.

I czynnik musi być więc wielomianem stopnia drugiego, który nie ma pierwiastków, a jego wyraz wolny musi być równy 2/9.

Taki wielomian to np:

`x^2+2/9` 

lub np:

`x^2+x+2/9` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

c) Szukamy wielomianu o wyrazie wolnym a0=2, który ma tylko jeden pierwiastek dwukrotny równy 3 i którego stopień jest równy 6. 

Przykładowy taki wielomian to:

`#underbrace((x^4+2/9))_("I czynnik")*#underbrace((x-3)^2)_("II czynnik")=(x^4+2/9)(x^2-6x+9)=x^6-6x^5+9x^4+2/9x^2-4/3x+ul(ul(2))`     

Uzasadnienie: Pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu ma być liczba 3, dlatego w postaci iloczynowej pojawia się wielomian oznaczony jako II czynnik (jest to wielomian stopnia 2, którego 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym).

Cały wielomian ma być stopnia szóstego, więc I czynnik iloczynu musi być wielomianem stopnia czwartego i nie posiadać pierwiastków (gdyż jedynym pierwiastkiem ma być 3).

Musimy pamiętąć, że wyraz wolny wielomianu, który chcemy otrzymać ma wynosić 2. 

Wyraz wolny II czynnika, wynosi 9, bo:

`(x-3)^2=x^2-6x+ul(ul(9))`  

Musimy tak dobrać wyraz wolny I czynnika, aby po wymnożeniu przez wyraz wolny II czynnika, czyli przez 9, otrzymać 2.

Stąd wyraz wolny I czynnika to 2/9.

I czynnik musi być więc wielomianem stopnia czwartego, który nie ma pierwiastków, a jego wyraz wolny musi być równy 2/9.

Taki wielomian to np:

`x^4+2/9` 

lub np:

`x^4+x^2+2/9`