Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Uzasadnij, że równanie nie .... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ x^3-5x^2-2x+24=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 24.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-3,\ 3,-4,\ 4,-6,\ 6,-8,\ 8,-12,\ 12,-24,\ 24}`

Sparwdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3-5x2-2x+24.

`w(1)=1^3-5*1^2-2*1+24=1-5-2+24!=0`

`w(-1)=(-1)^3-5*(-1)^2-2*(-1)+24=-1-5+2+24!=0`

`w(2)=2^3-5*2^2-2*2+24=8-20-4+24!=0`

`w(-2)=(-2)^3-5*(-2)^2-2*(-2)+24=-8-20+4+24=0 `

Liczba -2 jest pierwiastkiem welomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(x^3-5x^2-2x+24):(x+2)=x^2-7x+12`

`x^3-5x^2-2x+24=(x+2)(x^2-7x+12)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`x^2-7x+12=0`

`Delta=49-4*1*12=49-48=1`

`sqrtDelta=sqrt1=1`

`x_1=(7-1)/2=3`

`x_2=(7+1)/2=4`

 `x^3-5x^2-2x+24=(x+2)(x-3)(x-4)` 

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`(x+2)(x-3)(x-4)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, 3 i 4. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ 3x^3+x^2-12x-4=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli -4.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-4,\ 4}`

Sparwdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=3x3+x2-12x-4.

`w(1)=3*1^3+1^2-12*1-4=3+1-12-4!=0`

`w(-1)=3*(-1)^3+(-1)^2-12*(-1)-4=-3+1+12-4!=0`

`w(2)=3*2^3+2^2-12*2-4=24+4-24-4=0`

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(3x^3+x^2-12x-4):(x-2)=3x^2+7x+2`

`3x^3+x^2-12x-4=(x-2)*(3x^2+7x+2)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`3x^2+7x+2=0`

`Delta=49-4*3*2=49-24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5`

`x_1=(-7-5)/6=-2`

 

`3x^3+x^2-12x-4=3(x-2)(x+2)(x+1/3)`

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`3(x-2)(x+2)(x+1/3)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, -1/3, 2. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ 2x^3+8x^2+9x+2=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 2.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Sprawdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+8x2+9x+2.

`w(1)=2*1^3+8*1^2+9*1+2=2+8+9+2!=0`

`w(-1)=2*(-1)^3+8*(-1)^2+9*(-1)+2=-2+8-9+2!=0`

`w(2)=2*2^3+8*2^2+9*2+2=16+32+18+2!=0`

`w(-2)=2*(-2)^3+8*(-2)^2+9*(-2)+2=-16+32-18+2=0`

Liczba -2 jest pierwiastkiem welomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(2x^3+8x^2+9x+2):(x+2)=2x^2+4x+1`

`2x^3+8x^2+9x+2=(x+2)(2x^2+4x+1)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`2x^2+4x+1=0`

`Delta=16-8=8`

`sqrtDelta=sqrt8=2sqrt2`

`x_1=(-4-2sqrt2)/4=-1-sqrt2/2`

`x_2=(-4+2sqrt2)/4=-1+sqrt2/2`

 `2x^3+8x^2+9x+2=(x+2)(x-x_1)(x-x_2)`    

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`2(x+2)(x-x_1)(x-x_2)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, x1, x2. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ x^3+6x^2+8x+15=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 15.

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,-5,\ 5,-15,\ 15}`

Sprawdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3+6x2+8x+15.

`w(1)=1^3+6*1^2+8*1+15=1+6+8+15!=0`

`w(-1)=(-1)^3+6*(-1)^2+8*(-1)+15=-1+6-8+15!=0`

`w(3)=3^3+6*3^2+8*3+15=27+54+24+15!=0`

`w(-3)=(-3)^3+6*(-3)^2+8*(-3)+15=-27+54-24+15!=0`

`w(5)=5^3+6*5^2+8*5+15=125+150+40+15!=0`

`w(-5)=(-5)^3+6*(-5)^2+8*(-5)+15=-125+150-40+15=0`

Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(x^3+6x^2+8x+15):(x+5)=x^2+x+3`

`x^3+6x^2+8x+15=(x+5)(x^2+x+3)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`x^2+x+3=0`

`Delta=1-12<0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Wyjściowe równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`(x+5)(x^2+x+3)=0`

Wyjściowe równanie ma jeden pierwiasteki -5.Pierwiastek ten jest jednokrotny.

Równanie nie ma więc pierwiastków wielokrotnych.