$\text{a)}{x}^3+5x^2+7x+3=0$

Współczynniki są całkowite, a_n≠0, a₀≠0, wiec możemy skorzystać z tw. o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

$p=\left\{-1,1,-3,3\right\}$

Dzielniki wyrazu a_n, czyli 1 to:

$q=\left\{-1,1\right\}$

Możliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x³+5x²+7x+3 to:

$\frac{p}{q}=\left\{-1,1,-3,3\right\}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

$w\left(1\right)=1^3+5\cdot 1^2+7\cdot 1+3=1+5+7+3=16\ne 0$

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+5\cdot {\left(-1\right)}^2+7\cdot \left(-1\right)+3=-1+5-7+3=0$

-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki wykonujemy dzielenie:

$\left(x^3+5x^2+7x+3\right):\left(x+1\right)=x^2+4x+3$

$x^3+5x^2+7x+3=\left(x+1\right)\cdot \left(x^2+4x+3\right)$

Szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego x²+4x+3.

$x^2+4x+3=0$

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}=2$

$x_1=\frac{-4-2}{2}=-3$

$x_2=\frac{-4+2}{2}=-1$

Pierwiastkami równania kwadratowego są -3 oraz -1.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$x^3+5x^2+7x+3=\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)={\left(x+1\right)}^2\left(x+3\right)$

Pierwiastki wyjściowego równania to -3 oraz -1.

-3 jest pierwiastkiem jednokrotnym, -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}{x}^3+x^2-8x-12=0$

Współczynniki są całkowite, a_n≠0, a₀≠0, wiec możemy skorzystac z tw. o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -12 to:

$p=\left\{-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-6,6,-12,12\right\}$

Dzielniki wyrazu a_n, czyli 1 to:

$q=\left\{-1,1\right\}$

Możliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x³+x²-8x-12 to:

$\frac{p}{q}=\left\{-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-6,6,-12,12\right\}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

$w\left(1\right)=1^3+1^2-8\cdot 1-12=1+1-8-12=-18\ne 0$

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-8\cdot \left(-1\right)-12=-1+1+8-12=-4\ne 0$

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

$w\left(2\right)=2^3+2^2-8\cdot 2-12=8+4-16-12=-16\ne 0$

2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2-8\cdot \left(-2\right)-12=-8+4+16-12=0$

-2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki wykonujemy dzielenie:

$\left(x^3+x^2-8x-12\right):\left(x+2\right)=x^2-x-6$

$x^3+x^2-8x-12=\left(x+2\right)\cdot \left(x^2-x-6\right)$

Szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego x²-x-6.

$x^2-x-6=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$

$x_2=\frac{1+5}{2}=3$

Pierwiastkami równania kwadratowego są -2 oraz 3.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$x^3+x^2-8x-12=\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)$

$x^3+x^2-8x-12={\left(x+2\right)}^2\left(x-3\right)$

Pierwiastki wyjściowego równania to 3 oraz -2.

3 jest pierwiastkiem jednokrotnym, -2 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

$\underline{\underline{}}$   

$\text{c)}{x}^4-6x^3+9x^2-4x=0$

 wielomian ten możemy zapisać w postaci:

$x\left(x^3-6x^2+9x-4\right)=0$  
zatem 0 jest pierwiastkiem wielomianu

wyznaczmy pierwiastki wielomianu w(x)=x³-6x²+9x-4

Współczynniki są całkowite, a_n≠0, a₀≠0, wiec możemy skorzystać z tw. o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

$p=\left\{-1,1,-2,2,-4,4\right\}$

Dzielniki wyrazu a_n, czyli 1 to:

$q=\left\{-1,1\right\}$

Możliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x³-6x²+9x-4 to:

$\frac{p}{q}=\left\{-1,1,-2,2,-4,4\right\}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

$w\left(1\right)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1-4=1-6+9-4=0$

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki wykonujemy dzielenie:

$\left(x^3-6x^2+9x-4\right):\left(x-1\right)=x^2-5x+4$

$\left(x^3-6x^2+9x-4\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-5x+4\right)$

Szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego x²-5x+4.

$x^2-5x+4=0$

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

$x_1=\frac{5-3}{2}=1$

$x_2=\frac{5+3}{2}=4$

Pierwiastkami równania kwadratowego są 1 oraz 4.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$x^4-6x^3+9x^2-4x=x\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x-4\right)$

$x^4-6x^3+9x^2-4x=x{\left(x-1\right)}^2\left(x-4\right)$

Pierwiastki wyjściowego równania to 0, 1 oraz 4.

0 i 4 to pierwiastki jednokrotne, 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

$\underline{\underline{}}$   




$\text{d)}{x}^4-6x^3+13x^2-12x+4=0$

wyznaczmy pierwiastki wielomianu w(x)=x⁴-6x³ +13x²-12x+4

Współczynniki są całkowite, a_n≠0, a₀≠0, wiec możemy skorzystac z tw. o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

$p=\left\{-1,1,-2,2,-4,4\right\}$

Dzielniki wyrazu a_n, czyli 1 to:

$q=\left\{-1,1\right\}$

Możliwe pierwiastki wielomianu w(x)=x⁴-6x³ +13x²-12x+4 to:

$\frac{p}{q}=\left\{-1,1,-2,2,-4,4\right\}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

$w\left(1\right)=1^4-6\cdot 1^3+13\cdot 1^2-12\cdot 1+4=0$

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki wykonujemy dzielenie:

 

 



$\left(x^4-6x^3+13x^2-12x+4\right)=\left(x-1\right)\left(x^3-5x^2+8x-4\right)$  
 

wyznaczmy pierwiastki wielomianu s(x)=x³-5x² +8x-4

Współczynniki są całkowite, a_n≠0, a₀≠0, wiec możemy skorzystac z tw. o pierwiastkach wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

$p=\left\{-1,1,-2,2,-4,4\right\}$

Dzielniki wyrazu a_n, czyli 1 to:

$q=\left\{-1,1\right\}$

Możliwe pierwiastki wielomianu s(x)=x³-5x² +8x-4 to:

$\frac{p}{q}=\left\{-1,1,-2,2,-4,4\right\}$

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

$s\left(1\right)=1^3-5\cdot 1^2+8\cdot 1-4=0$

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki wykonujemy dzielenie:

$x^3-5x^2+8x-4=\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)$  

Szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego x²-4x+4.

$x^2-4x+4=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{0}=0$

$x=\frac{4-0}{2}=2$

Pierwiastkiem dwukrotnym równania kwadratowego jest 2.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$x^4-6x^3+13x^2-12x+4=\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-2\right)$

$x^4-6x^3+13x^2-12x+4={\left(x-1\right)}^2{\left(x-2\right)}^2$

Pierwiastki wyjściowego równania to 1 i 2.

1 i 2 to pierwiastki dwukrotne.

$\underline{\underline{}}$