$\text{a)}x-\frac{1}{x}<0$  

$D:\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

 

$\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}<0$  

$\frac{x^2-1}{x}<0$  

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

$x\left(x^2-1\right)<0$  

Szkicujemy wykres wielomianu w(x)=x(x²-1)

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,1\right)$  

Po uwzględnieniu dziedziny rozwiązanie pozostaje takie samo.

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}x+\frac{1}{x}\ge 2$   

$D:\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

 

$x+\frac{1}{x}-2\ge 0$  

$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}\ge 0$    

$\frac{x^2+1-2x}{x}\ge 0$   

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb, stąd:

$x\left(x^2-2x+1\right)\ge 0$  

Sprawdzamy, czy trojmian kwadratowy ma pierwiastki:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=0$  

$x_1=\frac{2}{2}=1$