$\text{a)}\frac{x-2}{x-5}+\frac{x-3}{x-5}=2x-5$  

$\text{Zakładamy, z˙e:}x\ne 5$  

 

$\frac{x-2+x-3}{x-5}=2x-5$  

$\frac{2x-5}{x-5}=2x-5\mid \cdot \left(x-5\right)$  

$2x-5=2x^2-15x+25\mid -2x+5$  

$2x^2-17x+30=0$  

$\Delta ={\left(-17\right)}^2-4\cdot 2\cdot 30=289-240=49$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$  

$x_1=\frac{17-7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$  

$x_2=\frac{17+7}{4}=\frac{24}{4}=6$  

Rozwiązaniem równania są:

$x=\frac{5}{2},x=6$  

$\underline{\underline{}}$ $\underline{\underline{}}$        

$\text{b)}\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+2}{x-2}=3$   

$\text{Zakładamy, z˙e:}x\ne -1,x\ne 2$     

 

$\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=3$   

$\frac{x^2-3x+2}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}-\frac{x^2+3x+2}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=3$  

$\frac{x^2-3x+2-x^2-3x-2}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=3$  

$\frac{-6x}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=3\mid \cdot \left(x+1\right)\left(x-2\right)$    

$-6x=3\left(x^2-x-2\right)\mid :3$   

$-2x=x^2-x-2\mid +2x$

$x^2+x-2=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$  

$x_2=\frac{-1+3}{2}=1$  

Rozwiązaniem równania są:

$x=-2,x=1$  

$\underline{\underline{}}$      

$\text{c)}\frac{x+5}{x+4}+\frac{5}{x-2}=\frac{1}{x+4}$    

$\text{Zakładamy, z˙e:}x\ne -4,x\ne 2$     

 

$\frac{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}+\frac{5\left(x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}=\frac{1\left(x-2\right)}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}$    

$\frac{x^2+3x-10}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}+\frac{5x+20}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}=\frac{x-2}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}$    

$\frac{x^2+8x+10}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}$   

$\frac{x^2+8x+10}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}-\frac{x-2}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}=0$      

$\frac{x^2+7x+12}{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}=0\mid \cdot \left(x+4\right)\left(x-2\right)$   

$x^2+7x+12=0$  

$\Delta =7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$    

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$  

$x_1=\frac{-7-1}{2}=-4\notin D$   

$x_2=\frac{-7+1}{2}=-3$   

Rozwiązaniem równania jest:

$x=-3$  

$\underline{\underline{}}$      

$\text{d)}\frac{1}{2x}+\frac{1}{2\left(x+2\right)}=1$   

$\text{Zakładamy, z˙e:}x\ne 0,x\ne -2$     

 

$\frac{1\cdot \left(x+2\right)}{2x\cdot \left(x+2\right)}+\frac{1\cdot x}{2\left(x+2\right)\cdot x}=1$   

$\frac{x+2}{2x\left(x+2\right)}+\frac{x}{2x\left(x+2\right)}=1$     

$\frac{2x+2}{2x\left(x+2\right)}=1\mid \cdot 2x\left(x+2\right)$   

$2x+2=2x^2+4x\mid -2x-2$

$2x^2+2x-2=0\mid :2$

$x^2+x-1=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$  

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$  

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$  

Rozwiązaniem równania są x₁ oraz x₂.