Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Równanie x^3+x^2+px+q=0 ma pierwiastek jednokrotny 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`#underbrace(x^3+x^2+px+q)_(w(x))=0`

Pierwiastki równania to zarazem pierwiastki wielomianu w.

`ul(ul("uwaga"))`

Indeksy dolne często są niewygodne w obliczeniach (łatwo się pomylić), dlatego przyjmijmy następujące oznaczenia:

`x_1=a`

`x_2=b`

 

Pierwiastek a jest jednokrotny, a pierwiastek b jest dwukrotny. Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu w jest równy 1, więc możemy zapisać: 

`w(x)=(x-a)(x-b)^2`

 

Wiemy, że pierwiastek b jest o 2 mniejszy od pierwiastka a:

`a=b+2`

 

Wstawiamy tą zależność do wzoru wielomianu w:

`w(x)=(x-(b+2))(x-b)^2`

`w(x)=(x-b-2)(x-b)^2`

 

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian ze względu na zmienną x:

`w(x)=(x-b-2)(x-b)^2=(x-b-2)(x^2-2bx+b^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-2bx^2+b^2x-bx^2+2b^2x-b^3-2x^2+4bx-2b^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-b-2)x^2+(b^2+2b^2+4b)x+(-b^3-2b^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-3b-2)x^2+(3b^2+4b)x+(-b^3-2b^2)`

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem: 

`w(x)=x^3+x^2+px+q`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -3b-2=1\ \ \ =>\ \ \ -3b=3\ \ \ =>\ \ \ b=-1`

`x^1:\ \ \ 3b^2+4b=p\ \ \ =>\ \ \ p=3*(-1)^2+4*(-1)=3*1-4=3-4=-1`

`x^0:\ \ \-b^3-2b^2=-(-1)^3-2*(-1)^2=-(-1)-2*1=1-2=-1`

Znamy już wartości parametrów p oraz q, znamy też wartość b, więc możemy podać wartości pierwiastków: 

`x_1=a=b+2=-1+1=1`

`x_2=b=-1`

 

Zapiszmy jeszcze odpowiedź:

`{(p=-1), (q=-1), (x_1=1), (x_2=-1):}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

`#underbrace(x^3+px^2+11x+q)_(w(x))=0`

Pierwiastki równania to zarazem pierwiastki wielomianu w.

Znamy stosunek pierwiastków, więc możemy oznaczyć:

`x_1:x_2:x_3=1:2:3\ \ \ \ =>\ \ \ \ x_1=a,\ \ x_2=2a,\ \ x_3=3a`

Stopień wielomianu w jest równy 3. Wiemy, że liczba pierwiastków wielomianu (liczonych z krotnościami) jest nie większa od stopnia wielomianu, więc pierwiastki a, 2a, 3a muszą mieć krotność 1. 

Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu w jest równy 1, więc możemy zapisać: 

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)`

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian ze względu na zmienną x:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)=(x^2-2ax-ax+2a)^2(x-3a)=(x^2-3ax+2a^2)(x-3a)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-3ax^2-3ax^2+9a^2x+2a^2x-6a^3=x^3-6ax^2+11a^2x-6a^3`

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem: 

`w(x)=x^3+px^2+11x+q`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -6a=p`

`x^1:\ \ \ 11a^2=11\ \ \ =>\ \ \ a^2=1\ \ \ =>\ \ \ a=1\ \ \ "lub"\ \ \ a=-1`

`x^0:\ \ \ -6a^3=q`

 

Zauważmy, że nie musimy wyznaczać wartości parametrów p oraz q. Naszym zadaniem jest obliczenie pierwiastków równania (czyli pierwiastków wielomianu w)

Mamy dwie możliwości:

`{(x_1=a=1), (x_2=2a=2*1=2), (x_3=3a=3*1=3):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(x_2=a=-1), (x_2=2a=2*(-1)=-2), (x_3=3a=3*(-1)=-3):}`

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Proste, odcinki i kąty

Najprostszymi figurami geometrycznymi są: punkt, prosta, półprosta i odcinek.

  1. Punkt – jest to jedno z pojęć pierwotnych, co oznacza że nie posiada formalnej definicji, jednak możemy wyobrazić go sobie jako nieskończenie małą kropkę lub ślad po wbitej cienkiej szpilce. Punkty oznaczamy wielkimi literami alfabetu.

    punkt
     
  2. Prosta – jest to jedno z pojęć pierwotnych, co oznacza że nie posiada formalnej definicji, jednak możemy wyobrazić ją sobie jako niezwykle długą i cienką, naprężona nić lub ślad zgięcia wielkiej kartki papieru.

    Możemy też powiedzieć, że prosta jest figurą geometryczną złożoną z nieskończenie wielu punktów. Prosta jest nieograniczona, czyli nie ma ani początku ani końca. Proste oznaczamy małymi literami alfabetu.
     

    prosta

    Jeżeli punkt A należy do prostej a, to mówimy, że prosta a przechodzi przez punkt A.

    prosta-punkty

    $$A∈a$$ (czyt.: punkt A należy do prostej a); $$B∈a$$; $$C∉a$$ (czyt.: punkt C nie należy do prostej a); $$D∉a$$

    Przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

    prosta-przechodzaca-przez-punkty

    Przez dwa różne punkty A i B można poprowadzić tylko jedną prostą. Prostą przechodzącą przez dwa różne punkty A i B oznaczamy prostą AB.
     
  3. Półprosta – jedna z dwóch części prostej, na które punkt dzieli tę prostą, wraz z tym punktem. Inaczej mówiąc półprosta to część prostej ograniczona z jednej strony punktem, który jest jej początkiem.
     

    polprosta
     
  4. Odcinek – Jeżeli dane są dwa różne punkty A i B należące do prostej, to zbiór złożony z punktów A i B oraz z tych punktów prostej AB, które są zawarte między punktami A i B, nazywamy odcinkiem AB.


    odcinekab

    Punkty A i B nazywamy nazywamy końcami odcinka. Końce odcinków oznaczamy wielkimi literami alfabetu,natomiast odcinek możemy oznaczać małymi literami.
     
  5. Łamana – jest to figura geometryczna, będąca sumą skończonej liczby odcinków. Inaczej mówiąc, łamana to figura zbudowana z odcinków w taki sposób, że koniec jednego odcinka jest początkiem następnego odcinka.


    lamana
     

    Odcinki, z których składa się łamana nazywamy bokami łamanej, a ich końce wierzchołkami łamanej.
     

    • Jeśli pierwszy wierzchołek łamanej pokrywa się z ostatnim, to łamaną nazywamy zamkniętą.

      lamana-zamknieta
       
    • Jeśli pierwszy wierzchołek nie pokrywa się z ostatnim, to łamana nazywamy otwartą.

      lamana-otwarta
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie