Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Równanie x^3+x^2+px+q=0 ma pierwiastek jednokrotny 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`#underbrace(x^3+x^2+px+q)_(w(x))=0` 

Pierwiastki równania to zarazem pierwiastki wielomianu w.

`ul(ul("uwaga"))`  

Indeksy dolne często są niewygodne w obliczeniach (łatwo się pomylić), dlatego przyjmijmy następujące oznaczenia:

`x_1=a`

`x_2=b`

 

Pierwiastek a jest jednokrotny, a pierwiastek b jest dwukrotny. Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu w jest równy 1, więc możemy zapisać: 

`w(x)=(x-a)(x-b)^2` 

 

Wiemy, że pierwiastek b jest o 2 mniejszy od pierwiastka a:

`a=b+2`    

 

Wstawiamy tą zależność do wzoru wielomianu w:

`w(x)=(x-(b+2))(x-b)^2`  

`w(x)=(x-b-2)(x-b)^2` 

 

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian ze względu na zmienną x:

`w(x)=(x-b-2)(x-b)^2=(x-b-2)(x^2-2bx+b^2)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-2bx^2+b^2x-bx^2+2b^2x-b^3-2x^2+4bx-2b^2=`   

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2b-b-2)x^2+(b^2+2b^2+4b)x+(-b^3-2b^2)=`    

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-3b-2)x^2+(3b^2+4b)x+(-b^3-2b^2)`  

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem: 

`w(x)=x^3+x^2+px+q` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^3:\ \ \ 1=1` 

`x^2:\ \ \ -3b-2=1\ \ \ =>\ \ \ -3b=3\ \ \ =>\ \ \ b=-1`  

`x^1:\ \ \ 3b^2+4b=p\ \ \ =>\ \ \ p=3*(-1)^2+4*(-1)=3*1-4=3-4=-1`   

`x^0:\ \ \-b^3-2b^2=-(-1)^3-2*(-1)^2=-(-1)-2*1=1-2=-1` 

Znamy już wartości parametrów p oraz q, znamy też wartość b, więc możemy podać wartości pierwiastków: 

`x_1=a=b+2=-1+1=1` 

`x_2=b=-1` 

 

Zapiszmy jeszcze odpowiedź:

`{(p=-1), (q=-1), (x_1=1), (x_2=-1):}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

`#underbrace(x^3+px^2+11x+q)_(w(x))=0` 

Pierwiastki równania to zarazem pierwiastki wielomianu w.

Znamy stosunek pierwiastków, więc możemy oznaczyć:

`x_1:x_2:x_3=1:2:3\ \ \ \ =>\ \ \ \ x_1=a,\ \ x_2=2a,\ \ x_3=3a` 

Stopień wielomianu w jest równy 3. Wiemy, że liczba pierwiastków wielomianu (liczonych z krotnościami) jest nie większa od stopnia wielomianu, więc pierwiastki a, 2a, 3a muszą mieć krotność 1. 

Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu w jest równy 1, więc możemy zapisać: 

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)` 

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian ze względu na zmienną x:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)=(x^2-2ax-ax+2a)^2(x-3a)=(x^2-3ax+2a^2)(x-3a)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-3ax^2-3ax^2+9a^2x+2a^2x-6a^3=x^3-6ax^2+11a^2x-6a^3` 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w dany jest wzorem: 

`w(x)=x^3+px^2+11x+q` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać

`x^3:\ \ \ 1=1` 

`x^2:\ \ \ -6a=p` 

`x^1:\ \ \ 11a^2=11\ \ \ =>\ \ \ a^2=1\ \ \ =>\ \ \ a=1\ \ \ "lub"\ \ \ a=-1` 

`x^0:\ \ \ -6a^3=q` 

 

Zauważmy, że nie musimy wyznaczać wartości parametrów p oraz q. Naszym zadaniem jest obliczenie pierwiastków równania (czyli pierwiastków wielomianu w)

Mamy dwie możliwości:

`{(x_1=a=1), (x_2=2a=2*1=2), (x_3=3a=3*1=3):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(x_2=a=-1), (x_2=2a=2*(-1)=-2), (x_3=3a=3*(-1)=-3):}`