Jeśli liczby 1-√5 oraz 1+√5 są pierwiastkami wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez (x-1+√5) oraz przez (x-1-√5), czyli jest podzielny przez iloczyn: (x-1+√5)(x-1-√5). Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę kwadratów oraz na kwadrat różnicy obliczmy ten iloczyn: 

$\left(x-1+\sqrt{5}\right)\left(x-1-\sqrt{5}\right)={\left(x-1\right)}^2-{\sqrt{5}}^2=\left(x^2-2x+1\right)-5=x^2-2x+1-5=x^2-2x-4$

 

Wielomian w jest wielomianem stopnia 4, więc po podzieleniu przez powyższy wielomian stopnia 2 otrzymamy wielomian stopnia 2 (bo 4-2=2). Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu w jest równy 3, więc możemy zapisać w jako:

$w\left(x\right)=3\left(x^2-2x-4\right)\left(x^2+bx+c\right)$

gdzie b i c to nieznane współczynniki, które musimy obliczyć. 

Wykonajmy mnożenie i uporządkujmy wielomian. 

$w\left(x\right)=3\left(x^2-2x-4\right)\left(x^2+bx+c\right)=\left(3x^2-6x-12\right)\left(x^2+bx+c\right)=$