$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{-3x^3+x^2+2m}}=0$

Jeśli m ma być rozwiązaniem równania, to musi być pierwiastkiem wielomianu w, czyli wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-m). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Zachodzi więc równość:

$w\left(x\right)=\underset{u\left(x\right)}{\underbrace{\left(-3x^2+\left(1-3m\right)x+\left(1-3m\right)m\right)}}\cdot \left(x-m\right)+2m+\left(1-3m\right)m^2$

 

Jeśli wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-m), to otrzymana reszta musi być równa 0, a więc:

$2m+\left(1-3m\right)m^2=0$

$2m+m^2-3m^3=0$

$-m\underset{m_2=\frac{1+5}{2\cdot 3}=1}{\underset{m_1=\frac{1-5}{2\cdot 3}=-\frac{2}{3}}{\underset{\sqrt{\Delta }=5}{\underset{=1+24=25}{\underset{\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-2\right)=}{\underbrace{\left(3m^2-m-2\right)}}}}}}=0$

$-m\cdot 3\left(m+\frac{2}{3}\right)\left(m-1\right)=0$

$-3m\left(m+\frac{2}{3}\right)\left(m-1\right)=0$

Mamy trzy możliwości:

$m=0\text{lub}m=-\frac{2}{3}\text{lub}m=1$

 

 

Liczba m ma być jedynym rozwiązaniem równania, dlatego wielomian u(x) nie może mieć już żadnych pierwiastków. Jest to trójmian kwadratowy, więc po prostu musimy zadbać o to, aby delta była ujemna.

$\Delta ={\left(1-3m\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(1-3m\right)m={\left(1-3m\right)}^2+12m\left(1-3m\right)$

Można byłoby rozwiązać nierówność, ale mamy tylko trzy przypadki, dlatego podstawimy i sprawdzimy, w którym z nich delta jest ujemna:

 

$1)m=0$

$\Delta ={\left(1-3\cdot 0\right)}^2+12\cdot 0\cdot \left(1-3\cdot 0\right)=1^2+0=1>0$

 

$2)m=-\frac{2}{3}$

$\Delta ={\left(1-3\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\right)}^2+{\sout{12}}^4\cdot \left(-\frac{2}{{\sout{3}}^1}\right)\cdot \left(1-3\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\right)=$

$={\left(1+2\right)}^2-8\cdot \left(1+2\right)=3^2-8\cdot 3=9-24<0$

 

$3)m=1$

$\Delta ={\left(1-3\cdot 1\right)}^2+12\cdot 1\cdot \left(1-3\cdot 1\right)={\left(1-3\right)}^2+12\cdot \left(-2\right)={\left(-2\right)}^2-24=4-24<0$

 

Odrzucamy pierwszą odpowiedź i ostatecznie mamy rozwiązanie zadania:

$\underline{\underline{m=-\frac{2}{3}\text{lub}m=1}}$