Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Oblicz resztę z dzielenia 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) jest równa a.

Obliczmy więc, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+5:

`w(-5)=(-5)^4+5*(-5)^3+(-5)+6=625+5*(-125)-5+6=1` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=1^4+5*1^3+1+6=1+5+1+6=13` 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax+b)_("reszta")` 

`w(x)=p(x)(x+5)(x-1)+ax+b\ \ \ \ \ (**)`   

 

Wiemy, że:

`w(-5)=1`   

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(-5)*#underbrace((-5+5))_0((-5-1)+a*(-5)+b=1` 

`-5a+b=1` 

 

 

Wiemy, że:

`w(1)=13` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)*(1+5)*#underbrace((1-1))_0+a*1+b=13` 

`a+b=13` 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(-5a+b=1\ \ \ |*(-1)), (a+b=13):}` 

`{(5a-b=-1), (a+b=13):}\ \ \ \ \ |+` 

`6a=12\ \ \ |:6` 

`a=2` 

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu równań:

`2+b=13\ \ \ \ |-2` 

`b=11` 

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(2x+11))` 

 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

 

`b)` 

Zauważmy, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy zapisać:

`u(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)`  

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=1^100-1+2=1-1+2=2` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+1:

`w(-1)=(-1)^100-(-1)+2=1+1+2=4` 

 

 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax+b)_("reszta")` 

`w(x)=p(x)(x^2-1)+ax+b\ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`  

 

Wiemy, że:

`w(1)=2` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)#underbrace((1^2-1))_0+a*1+b=2` 

`a+b=2` 

 

 

Wiemy, że:

`w(-1)=4` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(-1)#underbrace(((-1)^2-1))_0+a*(-1)+b=4` 

`-a+b=4` 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(a+b=2), (-a+b=4):}\ \ \ \ |+` 

`2b=6\ \ \ |:2` 

`b=3` 

Podstawiamy obliczoną wartość b do pierwszego równania układu rownań:

`a+3=2\ \ \ |-3` 

`a=-1` 

 

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(-x+3))`  

` `

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

 

`c)` 

Zapiszmy wielomian u(x) jako iloczyn dwumianów. 

`u(x)=x^2-3x+2=...` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-3)^2-4*1*2=9-8=1` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrt(Delta)=1` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(3-1)/2=2/2=1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x_2=(3+1)/2=4/2=2` 

`...=(x-1)(x-2)` 

 

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=(1^2-1-1)^5-3=(1-1-1)^5-3=(-1)^5-3=-1-3=-4` 

 

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-2:

`w(2)=(2^2-2-1)^5-3=(4-2-1)^5-3=1^5-3=1-3=-2` 

 

 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax+b)_("reszta")` 

`w(x)=p(x)*(x-1)*(x-2)+ax+b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`  

 

Wiemy, że:

`w(1)=-4` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)*#underbrace((1-1))_0*(1-2)+a*1+b=-4` 

`a+b=-4` 

 

Wiemy, że:

`w(2)=-2` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(2)*(2-1)*#underbrace((2-2))_0+a*2+b=-2` 

`2a+b=-2` 

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(a+b=-4\ \ \ |*(-1)), (2a+b=-2):}` 

`{(-a-b=4), (2a+b=-2):}\ \ \ \ |+` 

`a=2` 

Podstawiamy obliczoną wartość a do pierwszego równania pierwszego układu równań:

`2+b=-4\ \ \ |-2` 

`b=-6` 

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(2x-6))` 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

`d)` 

Zapiszmy wielomian u(x) jako iloczyn dwumianów. 

`u(x)=x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-2:

`w(2)=(-2/3*2^2+2+2/3)^5=(-2/3*4+2+2/3)^5=(-8/3+2+2/3)^5=(-6/3+2)^5=(-2+2)^5=0^5=0` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=(-2/3*1^2+1+2/3)^5=(-2/3+1+2/3)^5=1^5=1` 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+1:

`w(-1)=(-2/3*(-1)^2-1+2/3)=(-2/3-1+2/3)^5=(-1)^5=-1` 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia trzeciego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia trzeciego jest stopnia co najwyżej dwa, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax^2+bx+c)_("reszta")` 

`w(x)=p(x)*(x-2)*(x-1)*(x+1)+ax^2+bx+c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)` 

 

Wiemy, że:

`w(2)=0` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(2)*#underbrace((2-2))_0*(2-1)*(2+1)+a*2^2+b*2+c=0` 

`4a+2b+c=0` 

 

 

 

Wiemy, że:

`w(1)=1` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)*(1-2)*#underbrace((1-1))_0*(1+1)+a*1^2+b*1+c=1` 

`a+b+c=1` 

 

 

 

Wiemy, że:

`w(-1)=-1` 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(-1)*(-1-2)*(-1-1)*#underbrace((-1+1))_0+a*(-1)^2+b*(-1)+c=-1` 

`a-b+c=-1` 

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(4a+2b+c=0), (a+b+c=1), (a-b+c=-1):}` 

Z pierwszego równania wyznaczamy c i podstawiamy do pozostałych równań:

`{(c=-4a-2b), (a+b-4a-2b=1), (a-b-4a-2b=-1):}` 

`{(c=-4a-2b), (-3a-b=1\ \ \ |+b-1), (-3a-3b=-1):}` 

`{(c=-4a-2b), (b=-3a-1), (-3a-3b=-1):}` 

Podstawiamy b wyliczone w drugim równaniu do pozostałych równań:

`{(c=-4a-2(-3a-1)), (b=-3a-1), (-3a-3(-3a-1)=-1):}` 

`{(c=-4a+6a+2) , (b=-3a-1), (-3a+9a+3=-1\ \ \ |-3):}`  

`{(c=2a+2), (b=-3a-1), (6a=-4\ \ \ |:6):}`   

`{(c=2a+2), (b=-3a-1), (a=-4/6=-2/3):}` 

`{(c=2*(-2/3)+2=-4/3+2=-1 1/3+2=2/3) , (b=-3*(-2/3)-1=2-1=1), (a=-2/3):}` 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(-2/3x^2+x+2/3))`