Matematyka

Oblicz resztę z dzielenia 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) jest równa a.

Obliczmy więc, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+5:

`w(-5)=(-5)^4+5*(-5)^3+(-5)+6=625+5*(-125)-5+6=1`

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=1^4+5*1^3+1+6=1+5+1+6=13`

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax+b)_("reszta")`

`w(x)=p(x)(x+5)(x-1)+ax+b\ \ \ \ \ (**)`

 

Wiemy, że:

`w(-5)=1`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(-5)*#underbrace((-5+5))_0((-5-1)+a*(-5)+b=1`

`-5a+b=1`

 

 

Wiemy, że:

`w(1)=13`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)*(1+5)*#underbrace((1-1))_0+a*1+b=13`

`a+b=13`

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(-5a+b=1\ \ \ |*(-1)), (a+b=13):}`

`{(5a-b=-1), (a+b=13):}\ \ \ \ \ |+`

`6a=12\ \ \ |:6`

`a=2`

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu równań:

`2+b=13\ \ \ \ |-2`

`b=11`

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(2x+11))`

 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

 

`b)`

Zauważmy, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy zapisać:

`u(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)`

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=1^100-1+2=1-1+2=2`

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+1:

`w(-1)=(-1)^100-(-1)+2=1+1+2=4`

 

 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax+b)_("reszta")`

`w(x)=p(x)(x^2-1)+ax+b\ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`

 

Wiemy, że:

`w(1)=2`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)#underbrace((1^2-1))_0+a*1+b=2`

`a+b=2`

 

 

Wiemy, że:

`w(-1)=4`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(-1)#underbrace(((-1)^2-1))_0+a*(-1)+b=4`

`-a+b=4`

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(a+b=2), (-a+b=4):}\ \ \ \ |+`

`2b=6\ \ \ |:2`

`b=3`

Podstawiamy obliczoną wartość b do pierwszego równania układu rownań:

`a+3=2\ \ \ |-3`

`a=-1`

 

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(-x+3))`

` `

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

 

`c)`

Zapiszmy wielomian u(x) jako iloczyn dwumianów. 

`u(x)=x^2-3x+2=...`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-3)^2-4*1*2=9-8=1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrt(Delta)=1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(3-1)/2=2/2=1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x_2=(3+1)/2=4/2=2`

`...=(x-1)(x-2)`

 

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=(1^2-1-1)^5-3=(1-1-1)^5-3=(-1)^5-3=-1-3=-4`

 

 

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-2:

`w(2)=(2^2-2-1)^5-3=(4-2-1)^5-3=1^5-3=1-3=-2`

 

 

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax+b)_("reszta")`

`w(x)=p(x)*(x-1)*(x-2)+ax+b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`

 

Wiemy, że:

`w(1)=-4`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)*#underbrace((1-1))_0*(1-2)+a*1+b=-4`

`a+b=-4`

 

Wiemy, że:

`w(2)=-2`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(2)*(2-1)*#underbrace((2-2))_0+a*2+b=-2`

`2a+b=-2`

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(a+b=-4\ \ \ |*(-1)), (2a+b=-2):}`

`{(-a-b=4), (2a+b=-2):}\ \ \ \ |+`

`a=2`

Podstawiamy obliczoną wartość a do pierwszego równania pierwszego układu równań:

`2+b=-4\ \ \ |-2`

`b=-6`

 

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(2x-6))`

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`d)`

Zapiszmy wielomian u(x) jako iloczyn dwumianów. 

`u(x)=x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)`

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-2:

`w(2)=(-2/3*2^2+2+2/3)^5=(-2/3*4+2+2/3)^5=(-8/3+2+2/3)^5=(-6/3+2)^5=(-2+2)^5=0^5=0`

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

`w(1)=(-2/3*1^2+1+2/3)^5=(-2/3+1+2/3)^5=1^5=1`

 

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+1:

`w(-1)=(-2/3*(-1)^2-1+2/3)=(-2/3-1+2/3)^5=(-1)^5=-1`

 

Wielomian u(x) to wielomian stopnia trzeciego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia trzeciego jest stopnia co najwyżej dwa, więc możemy zapisać:

`w(x)=p(x)*u(x)+#underbrace(ax^2+bx+c)_("reszta")`

`w(x)=p(x)*(x-2)*(x-1)*(x+1)+ax^2+bx+c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)`

 

Wiemy, że:

`w(2)=0`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(2)*#underbrace((2-2))_0*(2-1)*(2+1)+a*2^2+b*2+c=0`

`4a+2b+c=0`

 

 

 

Wiemy, że:

`w(1)=1`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(1)*(1-2)*#underbrace((1-1))_0*(1+1)+a*1^2+b*1+c=1`

`a+b+c=1`

 

 

 

Wiemy, że:

`w(-1)=-1`

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

`p(-1)*(-1-2)*(-1-1)*#underbrace((-1+1))_0+a*(-1)^2+b*(-1)+c=-1`

`a-b+c=-1`

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(4a+2b+c=0), (a+b+c=1), (a-b+c=-1):}`

Z pierwszego równania wyznaczamy c i podstawiamy do pozostałych równań:

`{(c=-4a-2b), (a+b-4a-2b=1), (a-b-4a-2b=-1):}`

`{(c=-4a-2b), (-3a-b=1\ \ \ |+b-1), (-3a-3b=-1):}`

`{(c=-4a-2b), (b=-3a-1), (-3a-3b=-1):}`

Podstawiamy b wyliczone w drugim równaniu do pozostałych równań:

`{(c=-4a-2(-3a-1)), (b=-3a-1), (-3a-3(-3a-1)=-1):}`

`{(c=-4a+6a+2) , (b=-3a-1), (-3a+9a+3=-1\ \ \ |-3):}`

`{(c=2a+2), (b=-3a-1), (6a=-4\ \ \ |:6):}`

`{(c=2a+2), (b=-3a-1), (a=-4/6=-2/3):}`

`{(c=2*(-2/3)+2=-4/3+2=-1 1/3+2=2/3) , (b=-3*(-2/3)-1=2-1=1), (a=-2/3):}`

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

`ul(ul(-2/3x^2+x+2/3))`

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości.

Przekątne kwadratu są prostopadłe, mają równą długość i wspólny środek. Przekątne tworzą z bokami kwadratu kąt 45°.

Długość jednego boku jest wymiarem kwadratu.

kwadrat
Ułamki właściwe i niewłaściwe
  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.
    Przykłady: $$3/8$$, $${23}/{36}$$, $$1/4$$, $$0/5$$.
     

  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.
    Przykłady: $${15}/7$$, $$3/1$$, $${129}/5$$, $${10}/5$$.
     

Zobacz także
Udostępnij zadanie