$a)$

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) jest równa a.

Obliczmy więc, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x+5:

$w\left(-5\right)={\left(-5\right)}^4+5\cdot {\left(-5\right)}^3+\left(-5\right)+6=625+5\cdot \left(-125\right)-5+6=1$

Obliczmy, ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x-1:

$w\left(1\right)=1^4+5\cdot 1^3+1+6=1+5+1+6=13$

Wielomian u(x) to wielomian stopnia drugiego. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian stopnia drugiego jest stopnia co najwyżej jeden, więc możemy zapisać:

$w\left(x\right)=p\left(x\right)\cdot u\left(x\right)+\underset{\text{reszta}}{\underbrace{ax+b}}$

$w\left(x\right)=p\left(x\right)\left(x+5\right)\left(x-1\right)+ax+b\left(\ast \right)$

Wiemy, że:

$w\left(-5\right)=1$

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

$p\left(-5\right)\cdot \underset{0}{\underbrace{\left(-5+5\right)}}(\left(-5-1\right)+a\cdot \left(-5\right)+b=1$

$-5a+b=1$

Wiemy, że:

$w\left(1\right)=13$

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

$p\left(1\right)\cdot \left(1+5\right)\cdot \underset{0}{\underbrace{\left(1-1\right)}}+a\cdot 1+b=13$

$a+b=13$

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

$\{\begin{array}{l}-5a+b=1\mid \cdot \left(-1\right)\\ a+b=13\end{array}$

$\{\begin{array}{l}5a-b=-1\\ a+b=13\end{array}\mid +$

$6a=12\mid :6$

$a=2$

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu równań:

$2+b=13\mid -2$

$b=11$

Możemy więc zapisać szukaną resztę:

$\underline{\underline{2x+11}}$

$\underline{\underline{\underline{}}}$