$a)$

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-4 wynosi 9, więc:

$w\left(x\right)=p\left(x\right)\cdot \left(x-4\right)+9\Rightarrow w\left(4\right)=9$

 

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x+3 wynosi 2:

$w\left(x\right)=q\left(x\right)\cdot \left(x+3\right)+2\Rightarrow w\left(-3\right)=2$

 

Szukamy reszty z dzielenia przez (x-4)(x+3) - jest to wielomian stopnia drugiego. Otrzymana reszta będzie więc stopnia co najwyżej 1 (o 1 mniej niż stopień wielomianu (x-4)(x+3)). Możemy więc zapisać:

$w\left(x\right)=s\left(x\right)\cdot \left(x-4\right)\left(x+3\right)+\underset{\text{reszta}}{\underbrace{ax+b}}\left(\ast \right)$

 

Wiemy, że:

$w\left(4\right)=9$

 

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

$s\left(4\right)\cdot \underset{0}{\underbrace{\left(4-4\right)}}\cdot \left(4-3\right)+a\cdot 4+b=9$

$4a+b=9$

 

 

Wiemy, że:

$w\left(-3\right)=2$

Podstawiając do zależności oznaczonej gwiazdką otrzymujemy:

$s\left(-3\right)\cdot \left(-3-4\right)\cdot \underset{0}{\underbrace{\left(-3+3\right)}}+a\cdot \left(-3\right)+b=2$

$-3a+b=2$

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

$\{\begin{array}{l}4a+b=9\\ -3a+b=2\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4a+b=9\\ 3a-b=-2\end{array}\mid +$

$7a=7\mid :7$

$a=1$