W każdym przykładzie najpierw wyznaczamy dziedzinę, potem rozwiązujemy równanie i sprawdzamy, czy otrzymany wynik należy do dziedziny.

 

 

$a)$

$x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -2\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$

 

$\frac{x}{-3}=-\frac{5}{x+2}\mid \cdot \left(-3\right)\left(x+2\right)$

$x\left(x+2\right)=-5\cdot \left(-3\right)$

$x^2+2x=15\mid -15$

$x^2+2x-15=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{64}=8$

$x_1=\frac{-2-8}{2}=-\frac{10}{2}=-5\in D$

$x_2=\frac{-2+8}{2}=\frac{6}{2}=3\in D$

 

 

$b)$

$2x\ne 0\Rightarrow x\ne 0\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$

 

$x=\frac{5x+3}{2x}\mid \cdot 2x$

$2x^2=5x+3\mid -5x-3$

$2x^2-5x-3=0$

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49$

$\sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\in D$

$x_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\in D$

 

 

$c)$

$x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$

 

$x+1=\frac{2-2x}{x-1}$

$x+1=\frac{-2\cdot \left(x-1\right)}{x-1}$

$x+1=-2\mid -1$

$x=-3\in D$

 

 

 

 

$d)$

$\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 1\end{array}\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,1\right\}$

 

$\frac{2x-2}{x+2}=\frac{x}{x-1}\mid \cdot \left(x+2\right)\left(x-1\right)$

$\left(2x-2\right)\left(x-1\right)=x\left(x+2\right)$

$2x^2-2x-2x+2=x^2+2x\mid -x^2-2x$

$x^2-6x+2=0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=36-8=28$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{28}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{7}=2\sqrt{7}$

$x_1=\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=3-\sqrt{7}\in D$

$x_2=\frac{6+2\sqrt{7}}{2}=3+\sqrt{7}\in D$

 

 

 

$e)$

$2-3x\ne 0\Rightarrow 3x\ne 2\Rightarrow x\ne \frac{2}{3}\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{2}{3}\right\}$

$\frac{6x-4}{2-3x}=-2x\mid \cdot \left(2-3x\right)$

$6x-4=-4x+6x^2\mid -6x+4$

$6x^2-10x+4=0\mid :2$

$3x^2-5x+2=0$

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

$x_1=\frac{5-1}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\notin D$

$x_2=\frac{5+1}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1\in D$

Otrzymaliśmy tylko jedno rozwiązanie (pierwsze rozwiązanie nie należy do dziedziny, więc je odrzucamy)

 

 

$f)$

$x\ne 0\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$

 

$6x+1=\frac{2}{x}\mid \cdot x$

$6x^2+x=2\mid -2$

$6x^2+x-2=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 6\cdot \left(-2\right)=1+48=49$

$\sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{-1-7}{2\cdot 6}=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}\in D$

$x_2=\frac{-1+7}{2\cdot 6}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\in D$