Matematyka

Przekątne ośmiokąta foremnego poprowadzone z jednego... 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Przekątne ośmiokąta foremnego poprowadzone z jednego...

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie
4
 Zadanie
5
 Zadanie

6
 Zadanie

`"a)"` Obliczamy miarę kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego.

Wzór ogólny dla `n-`kąta foremnego: `(n-2)*180^@.` 

Zatem dla ośmiokąta mamy:

`(8-2)*180^@=1080^@`   

Obliczamy miarę jednego kąta wewnętrznego ośmiokąta:

`1080^@/8=135^@` 

Wszystkie przekątne wychodzą z wierzchołka `A` pod tym samym kątem. Mamy więc:

`/_BAC=/_CAD=/_DAE=/_EAF=/_FAG=/_GAH=1/6*/_BAH=1/6*135=22,5^@`               

Odcinek `AE` jest najdłuższą przekątną ośmiokąta, dzieli więc kąt `FED` na pół, zatem:

`/_AED=/_FEA=1/2*/_FED=1/2*135^@=67,5^@`    

Obliczamy miarę kąta `AFE` z sumy kątów trójkąta `AFE:` 

`/_AFE=180^@-(/_EAF+/_FEA)=180^@-22,5^@-67,5^@=90^@` 

`/_EDA=/_AFE=90^@` 

Obliczamy miarę kata `GFA` jako różnicę miar kątów `GFE` i `AFE:` 

`/_GFA=/_GFE-/_AFE=135^@-90^@=45^@` 

`/_ADC=/_GFA=45^@` 

Obliczamy miarę kąta `AGF` z sumy miar kątów trójkąta `AGF:` 

`/_AGF=180^@-(/_FAG+/_GFA)=180^@-22,5^@-45^@=112,5^@` 

`/_DCA=/_AGF=112,5^@`     

Obliczamy miarę kata `HGA` jako różnicę miar kątów `HGF` i `AGF:`  

`/_HGA=/_HGF-/_AGF=135^@-112,5^@=22,5^@` 

`/_ACB=/_HGA=22,5^@` 

Kąty `AHG` `CBA` to kąty wewnętrzne ośmiokąta, czyli ich miary to:   

`/_AHG=/_CBA=135^@`  

Po wpisaniu miar kątów rysunek będzie wyglądał następująco:

 

`"b)"` Rysunek pomocniczy:

`L_1=2pir-`długość okręgu wpisanego w ośmiokąt

`L_2=2piR-`długość okręgu opisanego na ośmiokącie  

Chcemy pokazać, że 

`L_1/L_2=cos22^@30',` 

czyli że

`(2pir)/(2piR)=cos22^@30'.` 

Ostatecznie wystarczy pokazać, że

`r/R=cos22^@30'.` 

Wiemy, że `30'=0,5^@.`  

Obliczamy miarę kąta `BOA:` 

`/_BOA=360^@*1/8=45^@` 

Obliczamy miarę kąta `BOP:` 

`/_BOP=1/2*/_BOA=1/2*45^@=22,5^@` 

Trójkąt `BOP` jest trójkątem prostokątnym. Korzystając z funkcji trygonometrycznych dla tego trójkąta

możemy zapisać następującą zależność:

`r/R=cos(/_BOP)=cos22,5^@=cos22^@30',` co kończy dowód.     

    

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Liczby mieszane i ich zamiana na ułamek niewłaściwy
ulamek

Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).

$$4 1/9= 4 + 1/9 $$ ← liczbę mieszana zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i do tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego. Mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

$$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$
 
Odejmowanie pisemne
  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik, wyrównując ich cyfry do prawej strony.

    odejmowanie1
     
  2. Odejmowanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw odejmujemy jedności, w naszym przykładzie mamy 3 - 9. Jeśli jedności odjemnej są mniejsze od jedności odjemnika (a tak jest w naszym przykładzie), wtedy z dziesiątek przenosimy jedną (lub więcej) „dziesiątkę” do jedności i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: od 3 nie możemy odjąć 9, więc przenosimy (pożyczamy) jedną dziesiątkę z siedmiu dziesiątek i otrzymujemy 13 – 9 = 4, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 4, a nad cyframi dziesiątek zapisujemy ilość dziesiątek które nam zostały czyli 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostało nam sześć dziesiątek).

    odejmowanie2
     
  3. Odejmujemy dziesiątki, a następnie zapisujemy wynik pod cyframi dziesiątek. Gdy dziesiątki odjemnej są mniejsze od dziesiątek odjemnika, z setek przenosimy jedną (lub więcej) „setkę” do dziesiątek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 6 – 6 = 0, czyli pod cyframi dziesiątek zapisujemy 0.

    odejmowanie2
     
  4. Odejmujemy setki, a następnie wynik zapisujemy pod cyframi setek. Gdy setki odjemnej są mniejsze od setek odjemnika, z tysięcy przenosimy jeden (lub więcej) „tysiąc” do setek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 2 – 1 = 1, czyli pod cyframi setek zapisujemy 1.

    odejmowanie3
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik odejmowania pisemnego. W naszym przykładzie różnicą liczb 273 i 169 jest liczba 104.


Dla utrwalenia przeanalizujmy jeszcze jeden przykład odejmowania pisemnego.

Wykonamy pisemnie odejmowanie: 4071 - 956.

  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik.

    odejmowanie11
     
  2. Odejmujemy jedności: od 1 nie możemy odjąć 6, więc pożyczamy jedną dziesiątkę z siedmiu i otrzymujemy 11 – 6 = 5, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 5, natomiast nad cyframi dziesiątek wpisujemy 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostaje sześć dziesiątek).

    odejmowanie12
     
  3. Odejmujemy dziesiątki: 6 – 5 = 1, czyli pod cyframi dziesiątek wpisujemy 1.

    odejmowanie13
     
  4. Odejmujemy setki: od 0 nie możemy odjąć 9, więc pożyczamy jeden tysiąc i rozmieniamy go na 10 setek (bo jeden tysiąc to dziesięć setek) i otrzymujemy 10 – 9 = 1, czyli pod cyframi setek wpisujemy 1, a nad cyframi tysięcy wpisujemy 3, bo tyle tysięcy zostało.

    odejmowanie14
     
  5. Odejmujemy tysiące: w naszym przykładzie mamy 3 – 0 = 3 i wynik zapisujemy pod cyframi tysięcy.

    odejmowanie15
     
  6. Wynik naszego odejmowania: 4071 – 956 = 3115.

Zobacz także
Udostępnij zadanie