Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2015

Wykaż, że istnieje tylko jeden trójkąt prostokątny 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Wykaż, że istnieje tylko jeden trójkąt prostokątny

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie
4
 Zadanie
5
 Zadanie

6
 Zadanie

1
 Zadanie
2
 Zadanie

`a)`

Kolejne liczby naturalne: n, n+1, n+2

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość n+2. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: 

`n^2+(n+1)^2=(n+2)^2`

`n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4`

`2n^2+2n+1=n^2+4n+4\ \ \ |-n^2-4n-4`

`n^2-2n-3=0`

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`sqrtDelta=sqrt16=4`

`n_1=(2-4)/2notin NN`

`n_2=(2+4)/2=6/2=3`

 

`n=3,\ \ n+1=4,\ \ n+2=5`

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 3, 4, 5. 

 

 

 

`b)`

Kolejne naturalne liczby parzyste: 2n, 2n+2, 2n+4

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość 2n+4. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy: 

`(2n)^2+(2n+2)^2=(2n+4)^2`

`4n^2+4n^2+8n+4=4n^2+16n+16`

`8n^2+8n+4=4n^2+16n+16\ \ \ \ |-4n^2-16n-16`

`4n^2-8n-12=0\ \ \ |:4`

`n^2-2n-3=0`

Dostaliśmy takie samo równanie, jak w a, jego jedynym naturalnym rozwiązaniem jest n=3.

`2n=2*3=6,\ \ 2n+2=8,\ \ 2n+4=10`

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 6, 8, 10.