1 szkoły ponadpodstawowej

I liceum

I technikum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

a) Korzystamy z ,,jedynki trygonometrycznej": sin2α+cos2α=1 (1312​)2+cos2α=1 169144​+cos2α=1 cos2α=1−169144​ cos2α=16925​       /<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​

Rozwiązanie 1

Przypomnijmy, że dla kąta rozwartego α  zachodzi: sinα&gt;0 cosα&lt;0 tgα&lt;0 ctgα&lt;0

a)  Przekształcamy prawą stronę równości: sinαsinα+cosα​=sinαsinα​+sinαcosα​=1+ctgα

Przekształcamy lewą stronę równania: sin2αtgα​−cosα1​=sin2αcosαsinα​​−cosα1​= =cosαsinα​⋅sin2α1​−cosα1​=cosα1​⋅sinα1​−cosα1​=

Przekształcamy zależność zwaną ,,jedynką trygonometryczną": sin2α+cos2α=1 sin2α+cos2α−2αcosα+2αcosα=1

Na rozwiązywanie tego typu zadań nie ma określonej reguły. Musimy tak manewrować tożsamościami trygonometrycznymi i przekształceniami równości, aby dojść do szukanej wielkości. a) Szukamy iloczynu sinusa i cosinusa. Podnosimy obie strony posiadanej równości do kwadratu, taki manewr spowoduje pojawienie się właśnie tego iloczynu. sinα−cosα=2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​1​         /(…)2 (sinα−cosα)2=(2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​1​)2 sin2α−2sinαcosα+cos2α=21​ Wyodrębniamy z równania sumę kwadratów sinusa i cosinusa- jedynkę trygonometryczną sin2α+cos2α​−2sinαcosα=21​ 1−2sinαcosα=21​