a)

Korzystając z zależności:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\sin \left({90}^o-\alpha \right)=\cos \alpha$

Przekształcamy:

${\sin }^2{61}^o+{\sin }^2{29}^o={\left(\sin \left({90}^o-{29}^o\right)\right)}^2+{\sin }^2{29}^o={\cos }^2{29}^o+{\sin }^2{29}^o=1$

b)

Korzystając z zależności:

$\mathrm{ctg}\left({90}^o-\alpha \right)=\mathrm{tg}\alpha$

$\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=\mathrm{ctg}\alpha$

$\mathrm{ctg}{30}^o=\sqrt{3}$

Przekształcamy:

$\mathrm{ctg}{30}^o\cdot \mathrm{ctg}{40}^o\cdot \mathrm{ctg}{50}^o=\mathrm{ctg}{30}^o\cdot \mathrm{ctg}\left({90}^o-{50}^o\right)\cdot \mathrm{ctg}{50}^o=\mathrm{ctg}{30}^o\cdot \mathrm{tg}{50}^o\cdot \mathrm{ctg}{50}^o=\mathrm{ctg}{30}^o\cdot \mathrm{tg}{50}^o\cdot \frac{1}{\mathrm{tg}{50}^o}=\mathrm{ctg}{30}^o\cdot 1=\sqrt{3}$

c)

Korzystając z zależności:

$\mathrm{tg}\left({90}^o-\alpha \right)=\mathrm{ctg}\alpha$

$\frac{1}{\mathrm{ctg}\alpha }=\mathrm{tg}\alpha$

$\mathrm{tg}{60}^o=\sqrt{3}$

Przekształcamy:

$\mathrm{tg}{15}^o\cdot \mathrm{tg}{60}^o\cdot \mathrm{tg}{75}^o=\mathrm{tg}\left({90}^o-{75}^o\right)\cdot \mathrm{tg}{75}^o\cdot \mathrm{tg}{60}^o=\mathrm{ctg}{75}^o\cdot \mathrm{tg}{75}^o\cdot \mathrm{tg}{60}^o=\frac{1}{\mathrm{tg}{75}^o}\cdot \mathrm{tg}{75}^o\cdot \mathrm{tg}{60}^o=1\cdot {\mathrm{tg}}^o=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$

d)

Korzystając z zależności

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Przekształcamy:

${\sin }^2{57}^o\cdot {\mathrm{ctg}}^o{57}^o+{\cos }^2{57}^o+{\mathrm{tg}}^2{57}^o={\sin }^2{57}^o\cdot \frac{{\cos }^2{57}^o}{{\sin }^2{57}^o}+{\cos }^2{57}^o+\frac{{\sin }^2{57}^o}{{\cos }^2{57}^o}=$

$={\cos }^2{57}^o+{\sin }^2{57}^o=1$