III gimnazjum

Policzmy to razem 3

Czas drogi Wojtka i Jurka był taki sam i wynosił: t=1min 10s=70s   Dlugość drogi Wojtka to suma długości odcinków AB i CB: sACB​=∣AC∣+∣CB∣=210m+280m=490m

Rozwiązanie 1

Kąt wypukły ma miarę mniejszą niż 180o.Dwa kąty środkowe wypukłe to kąty AOB i BOC.  Kąt AOB to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ACB, zatem ma miarę dwa razy od niego większą: ∣∠AOB∣=2∣∠ACB∣

Zadanie rozwiązujemy w oparciu o twierdzenie Pitagorasa. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43794/AJxkBNTGg6dEqfgCb1WV9A%3D%3D_84b1e19d21be757111156c9fe8dc4d0ed6a561d657377fb58817c7b193955308.jpg"> Obliczamy długość boku równoległoboku EH, który jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta AEH: ∣AE∣2+∣AH∣2=∣EH∣2 122+92=∣EH∣2 144+81=∣EH∣2 ∣EH∣2=225           /<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ ∣EH∣=15​   Obliczamy długość boku równoległoboku EF, który jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta EBF: ∣EB∣2+∣BF∣2=∣EF∣2

Oznaczmy jako x pole wyrażone w metrach kwadratowych x- pole wyrażone w m2 Szukamy zależności pomiędzy polem wyrażonym w m2 a tym samym polem wyrażonym w cm2. 1m2=10000cm2 Pole wyrażone w cm2 będzie 10000 razy większe od tego samego pola wyrażonego w m2 10000*x - pole wyrażone w cm2 x jest o 99,99 mniejsze od 10000x Zapisujemy tą zależność w postaci równania: x+99,99=10000x Rozwiązujemy te równanie 99,99=10000x−x

Sporządzamy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43795/FsRPjUEux9QV6TOdYu8J9A%3D%3D_8ee2e8926035456dcb873af2b4808567eb63b4a07e66c444eca44c33a0804f59.png"> Pole pierścienia to różnica pól okręgów, które go wyznaczają. Musimy więc obliczyć pole okręgu opisanego na sześciokącie o boku 1, oraz pole okręgu opisanego na kwadracie o boku 1. Pole okręgu opisanego na kwadracie o boku 1: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43796/23ryN1XJdi4i47DZHK1B7Q%3D%3D_96c30692ed3d0ea212ae2b17c4821647c4df79a3f3033d209ef83a6ea9a9a5a3.jpg"> P1​=πr2=π(21​2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)2=π⋅41​⋅2=21​π

Oznaczmy sobie krótszą przyprostokątną tego trójkąta x, a dłuższą jako y. Aby pozbyć się jednej z tych niewiadomych wykorzystując znany stosunek dwóch przyprostokątnych, uzależnijmy długość y od długości. xy​=2,4       /⋅2,4 y=2,4x Zatem krótsza przyprostokątna ma długość x, a dłuższa 2,4x. Przeciwprostokątna ma długość 26 cm. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/43798/FSaYAgCT4fPNu9alG5UGiQ%3D%3D_1b922a86adcab5d66d06a39ec6e7bf65e02cd25af2aad06f58838bc4f0fdfc1f.png"> Aby obliczyć x korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: x2+(2,4x)2=262 x2+(252​x)2=676