Niewielki satelita porusza się wokół planety...

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

`v = 12\ (km)/s = 1,2*10^4\ m/s` 

`R_p = 10^4\ km = 10^7\ m` 

`gamma = 14,4\ m/s^2` 

Wartość natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M można zapisać, za pomocą wzoru:

`gamma = G*M/r^2 `

gdzie γ jest wartością natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M w odległości r od tego ciała, G jest stałą grawitacyjną. Wyznaczmy z tego wzoru masą planety:

`gamma = G*M/R_p^2 \ \ \ \ \ \ |*R_p^2` 

`gamma *R_p^2 = G*M \ \ \ \ \ \ |:G` 

`(gamma *R_p^2)/G = M` 

Zamieniamy stronami:

`M = (gamma *R_p^2)/G` 

Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką należałoby nadać ciału w kierunku poziomym, aby obiegało ciało niebieskie po orbicie kołowej w minimalnej odległości od jego powierzchni:

`v = sqrt((G*M)/R) `

gdzie G jest stałą grawitacji, M jest masą ciała niebieskiego, R jest odległością od powierzchni ciała niebieskiego. Zapiszmy ten wzór dla naszego przypadku i korzystając z tego wzoru wyznaczamy wartość odległości satelity od planety:

`v = sqrt((G*M)/r) \ \ \ \ \ \ |^2` 

`v^2= (G*M)/r \ \ \ \ \ |*r` 

`v^2*r = G*M \ \ \ \ \ \ |:v^2` 

`r = (G*M)/v^2` 

`r = (G*(gamma*R_p^2)/G)/v^2` 

`r = (gamma * R_p^2)/v^2` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`r = (14,4\ m/s^2 * (10^7\ m)^2)/(12*10^3\ m/s)^2 = (14,4\ m/s^2 * 10^14\ m^2)/(144*10^6\ m^2/s^2) = (144*10^13\ m^3/s^2)/(144*10^6\ m^2/s^2) = 10^7\ m = 10^4\ km`