Na satelitę obiegającego ciało niebieskie po orbicie kołowej działa siła grawitacji równoważąca siłę odśrodkową. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{od}=\frac{m\cdot v^2}{R}$

gdzie F_od jest siłą odśrodkową ciała o masie m (satelita) poruszającego się po okręgu o promieniu R z prędkością liniową v. Prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej możemy przedstawić wzorem:

$v=\omega \cdot R$  

gdzie v jest prędkością liniową, ω jest prędkością kątową, R jest promieniem po jakim porusza się ciało. Prędkość kątowa możemy wyrazić za pomocą okresu obiegu ciała:

$\omega =\frac{2\cdot \pi }{T}$  

gdzie ω jest prędkością kątową, T jest okresem obiegu. Wówczas siłę odśrodkową możemy wyrazić wzorem:

$F_{od}=\frac{m\cdot v^2}{R}$  

$F_{od}=\frac{m\cdot {\left(\omega \cdot R\right)}^2}{R}$  

$F_{od}=\frac{m\cdot {\omega }^2\cdot R^2}{R}$  

$F_{od}=m\cdot {\omega }^2\cdot R$  

$F_{od}=m\cdot {\left(\frac{2\cdot \pi }{T}\right)}^2\cdot R$  

$F_{od}=m\cdot \frac{4\cdot {\pi }^2}{T^2}\cdot R$  

$F_{od}=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot m\cdot R}{T^2}$  

Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_g=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$

gdzie G jest stałą grawitacji, m₁ i m₂ są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. W naszym przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

$F_g=G\cdot \frac{m\cdot M}{R^2}$

gdzie m jest masą satelity, M jest masą planety.  Porównajmy obie siły i wyznaczmy wartość okresu obrotu:

$F_g=F_{od}$  

$G\cdot \frac{m\cdot M}{R^2}=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot m\cdot R}{T^2}\mid :m$  

$G\cdot \frac{M}{R^2}=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot R}{T^2}\mid \cdot T^2\cdot R^2$  

$G\cdot M\cdot T^2=4\cdot {\pi }^2\cdot R^3\mid :\left(G\cdot M\right)$  

$T^2=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot R^3}{G\cdot M}\mid \sqrt{}$  

$T=\sqrt{\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot R^3}{G\cdot M}}$  

$T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{R^3}{M\cdot G}}$

Odpowiedź:

$\mathbf{c})$