III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Pp=π⋅r2 Pp=144π

Rozwiązanie 1

Rysunek pomocniczy: <img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/160706/L3KTRE2HVkaN5t2omS5jGA%3D%3D_f33e299447d8591f9c2d477bdfab68ce6ef315a64b56b739b6b65f62854a4dbd.jpg"> Widzimy, że powstała bryła to dwa trójkąty prostokątne sklejone przeciwprostokątnymi. Jednak łatwiej będzie rozwiązać to zadanie, jeśli popatrzymy na bryłę, jak na dwa trójkąty równoramienne, o bokach 2x  oraz  3x,  sklejone podstawami. Nowy rysunek będzie wyglądał następująco: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/66719/Ngjd6GzKntq7Ntb12Uqh6g%3D%3D_9cf3c364d0b270b606f48e55723a892ad51f207723f3bcb44de8eb7af7e91ab1.jpg"> By obliczyć objętość bryły, musimy zsumować objętość stożka o promieniu długości  h   i wysokości  y   oraz objętość stożka o promieniu h  i wysokości  z, gdzie  h  to wysokość trójkąta prostokątnego, a y  i  z   to odcinki, które powstały po podzieleniu boku c  wysokością. Z wzoru na pole trójkąta wiemy, że  21​c⋅h=12 cm2.     Po przekształceniach mamy:  h=c24​   Wiemy, że stosunek przyprostokątnych wynosi 2:3.  Znając pole trójkąta, możemy wyznaczyć długości boków trójkąta prostokątnego. Z wzoru na pole trójkąta mamy następującą zależność: 21​⋅2x⋅3x=12   3x2=12 /:3   x2=4   Wiemy, ze x&gt;0,

a)  Rysunek pomocniczy:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/66715/Ks/ECDNChXf15ahoKZ5vMQ%3D%3D_526d4878bf5598b5a75b7d439c4720aa0b3bf9f95eea30e4c52079b9eb7d0227.jpg">   Z rysunku widzimy, że powstała bryła to tak naprawdę dwa stożki sklejone podstawami. Promień podstawy wynosi r,  a wysokość  h,  gdzie  r  to połowa dłuższej przekątnej, a  h  - połowa krótszej przekątnej.  Obliczymy więc objętość jednego stożka i pomnożymy przez  2.   Wiemy, że kąt ostry rombu ma miarę 60∘,  dlatego romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych, sklejonych podstawami,  a jedna przekątna (krótsza) ma długość boku rombu, czyli wynosi  8 cm.   Wobec tego h=21​⋅a,

Rysunek pomocniczy: <img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/160718/jNuP7eTQja6NLD6jYHv6Fw%3D%3D_b288d78c024ae341830311bbb7a67f7a432a9f3ac613ad414c0004da6eed9473.jpg" width="249" height="624"> Dane: 2r=10 m    r=5 m   H=6 m   l=7 m   Widzimy, że potrzebujemy obliczyć pole powierzchni bocznej powstałej bryły (ozn. jako PB​ ). Będzie się ono składać z pola powierzchni bocznej stożka ( PbS​​ ), pola powierzchni bocznej walca ( PbW​​

Rysunek pomocniczy: <img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/160722/xpnGcMUUEh%2B5GsRtoGPm%2BA%3D%3D_1ddb2b023e893d20137803213b4f890e7db5b5367e89e24f3f2d9cec7bd1bf58.jpg" width="449" height="416"> Na rysunku: S1​,S2​−  części, z których wykonano powierzchnie boczne stożków r− promień koła, czyli  r=4 cm    x−  połowa obwodu koła, czyli obwód koła z podstawy stożków Tak będzie wyglądał pojedynczy stożek po złożeniu: <img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/160723/0SZDlyHy7FRYrGUqKloa6w%3D%3D_c48efaddcbcd68d80729ed3b7b07ebae369aef03e2b2990860a495e929cdf696.jpg"> Obliczymy teraz, ile wynosi x.   Obwód koła o środku w punkcie O  to: Ob​=2πr=2π⋅4 cm=8π cm

objętosˊcˊ kuli =

pole powierzchni stożka = π⋅r⋅(r+l)=96πcm2

objętość walca  V=π⋅102⋅10=1000π

objętośc jądra Ziemi= 34​⋅π⋅r3=34​⋅π⋅34703=174926984293km3   promień Ziemi = 40000=2π⋅r