II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Rozwiązanie 1

a) Mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny. W jego podstawie jest kwadrat. Mamy daną długość krawędzi bocznej 14 cm i przekątną podstawy długości 12cm. Wiemy, że wysokość ostrosłupa, którą oznaczymy jako H, jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego o przeciwporstokątnej będącej krawędzią boczną ostrosłupa długości 14 cm i drugą przyprostokątną stanowiącą połowę przekątnej podstawy ostrosłupa, czyli mającą długość 6cm. Liczymy H z tw. Pitagorasa 142=H2+62 196=H2+36 H2=160 H=160<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=16⋅10<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=410<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​cm b) Mamy ostrosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy a=6 cm i wysokości H=8 cm. Trzeba policzyć długość krawędzi bocznej ostrosłupa, którą oznaczymy jako x. Krawędź boczna ostrosłupa jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej H=8cm oraz drugiej przyprostokątnej - stanowiącej połowę dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego o boku a=6cm, czyli mającej długość 2a=12cm. Zatem druga przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 6cm. Liczymy x z tw. Pitagorasa x2=82+62 x2=64+36=100

Aby policzyć pole powierzchni tego ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o wysokości H=3m , należy znać jeszcze długość krawędzi bocznej oznaczonej jako a   oraz wysokość ściany bocznej oznaczonej jako h. Krawędź boczna ostrosłupa długości 5 m jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej H=3m oraz drugiej przyprostokątnej - stanowiącej połowę dłuższej przekątnej sześciokąta foremnego, która ma długość 2a , zatem druga przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość  a. Liczymy z tw. Pitagorasa 52=32+a2

Widzimy, że półka wraz ze sznurkami wyznacza ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy a=30cm   oraz wysokości H=80cm.   Należy policzyć długość sznurka, czy długość krawędzi bocznej, którą oznaczymy jako x.

Najwygodniejszy sposób nauki z edukacyjnym Odrabiamy AI

27