Matematyka

Autorzy:M. Braun, J. Lech

Wydawnictwo:GWO

Rok wydania:2008

Rysunki przedstawiają graniastosłupy prawidłowe 4.55 gwiazdek na podstawie 11 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rysunki przedstawiają graniastosłupy prawidłowe

35
 Zadanie

36
 Zadanie
37
 Zadanie
38
 Zadanie
40
 Zadanie
41
 Zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

I)

 a) Należy obliczyć obwód trójkąta ABC, zatem najpierw musimy wyliczyć długości poszczególnych boków trójkąta.

W podstawie graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a=6, zatem długość odcinka AB wynosi 6.

Zarówno odcinek AC jak i BC to przekątna ściany bocznej graniastosłupa, czyli prostokąta o wymiarach 6x8.

Liczymy długość odcinka AC korzystając z tw. Pitagorasa

`|AC|^2=6^2+8^2=36+64=100`

`|AC|=10` .

Zatem`|BC|=|AC|=10.`

Możemy policzyć teraz obwód trójkąta ABC

`Obw=10+10+6=26` 

 

b) Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 6 i ramionach długości 10. Należy obliczyć jego pole.

Najpierw z tw. Pitagorasa liczymy wysokość h tego trójkąta.

`h^2+3^2=10^2`

`h^2=100-9=91`

`h=sqrt(91)`

Teraz łatwo możemy policzyć pole trójkąta ABC

`P=1/2*6*sqrt(91)=3sqrt(91)`

 

II)

a) Należy obliczyć obwód trójkąta ABC, zatem najpierw musimy wyliczyć długości poszczególnych boków trójkąta.

Zarówno odcinek AC jak i AB to przekątna ściany bocznej graniastosłupa, czyli prostokąta o wymiarach 6x8.

Liczymy długość odcinka AC korzystając z tw. Pitagorasa

`|AC|^2=6^2+8^2=36+64=100`

`|AC|=10` .

Zatem `|AB|=|AC|=10.`

Natomiast odcinek BC to przekątna kwadratu o boku `a=6. ` Wiemy zatem, że `|BC|=asqrt(2)=6sqrt(2).`

Możemy policzyć teraz obwód trójkąta ABC

`Obw=10+10+6sqrt(2)=20+6sqrt(2)` 

 

b)Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości `6sqrt(2)`  i ramionach długości 10. Należy obliczyć jego pole.

Najpierw z tw. Pitagorasa liczymy wysokość h tego trójkąta.

`h^2+(3sqrt2)^2=10^2`

`h^2=100-18=82`

`h=sqrt(82)`

Teraz łatwo możemy policzyć pole trójkąta ABC

`P=1/2*6sqrt(2)*sqrt(82)=3sqrt(164)=3*sqrt(4*41)=6sqrt(41)`

 

III)

 a) Należy obliczyć obwód trójkąta ABC, zatem najpierw musimy wyliczyć długości poszczególnych boków trójkąta.

W podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku a=4, zatem długość odcinka AB wynosi 4.

Odcinek BC jest przekątną ściany bocznej graniastosłupa, czyli prostokąta o wymiarach 4x7.

Liczymy długość odcinka BC korzystając z tw. Pitagorasa

`|BC|^2=4^2+7^2=16+49=65`

`|BC|=sqrt(65)`

Natomiast odcinek AC jest przeciwprostokątną trójkąta ADC. Policzmy teraz przyprostokątne trójkąta ADC.

Wiemy, że odcinek AD jest wysokością graniastosłupa, zatem |AD|=7.

Natomiast odcinek DC jest przekątną kwadratu o boku a=4. Mamy zatem `|DC|=asqrt(2)=4sqrt(2).`

Z tw. Pitagorasa zatem łatwo można policzyć długość odcinka AC.

`|AC|^2=|AD|^2+|DC|^2=7^2+(4sqrt(2))^2`

`|AC|^2=49+32=81`

`|AC|=9`

Możemy policzyć teraz obwód trójkąta ABC

`Obw=4+sqrt65+9=13+sqrt(65)` 

 

 b) Trójkąt ABC jest trójkątem o bokach długości `4,sqrt(65),9.`  Należy obliczyć jego pole.

Zauważmy, że `4^2+sqrt(65)^2=16+65=81=9^2.`

Zatem z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa trójkąt ABC jest prostokątny.

Łatwo teraz policzyć jego pole

`P=1/2*4*sqrt(65)=2sqrt(65).`