I)

 a) Należy obliczyć obwód trójkąta ABC, zatem najpierw musimy wyliczyć długości poszczególnych boków trójkąta.

W podstawie graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a=6, zatem długość odcinka AB wynosi 6.

Zarówno odcinek AC jak i BC to przekątna ściany bocznej graniastosłupa, czyli prostokąta o wymiarach 6x8.

Liczymy długość odcinka AC korzystając z tw. Pitagorasa

${\left|AC\right|}^2=6^2+8^2=36+64=100$

$\left|AC\right|=10$ .

Zatem $\left|BC\right|=\left|AC\right|=10.$

Możemy policzyć teraz obwód trójkąta ABC

$Obw=10+10+6=26$  

 

b) Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 6 i ramionach długości 10. Należy obliczyć jego pole.

Najpierw z tw. Pitagorasa liczymy wysokość h tego trójkąta.

$h^2+3^2={10}^2$

$h^2=100-9=91$

$h=\sqrt{91}$

Teraz łatwo możemy policzyć pole trójkąta ABC

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{91}=3\sqrt{91}$ $P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{91}=3\sqrt{91}$

 

II)

a) Należy obliczyć obwód trójkąta ABC, zatem najpierw musimy wyliczyć długości poszczególnych boków trójkąta.

Zarówno odcinek AC jak i AB to przekątna ściany bocznej graniastosłupa, czyli prostokąta o wymiarach 6x8.

Liczymy długość odcinka AC korzystając z tw. Pitagorasa

${\left|AC\right|}^2=6^2+8^2=36+64=100$

$\left|AC\right|=10$ .

Zatem $\left|AB\right|=\left|AC\right|=10.$

Natomiast odcinek BC to przekątna kwadratu o boku $a=6.$ Wiemy zatem, że $\left|BC\right|=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$

Możemy policzyć teraz obwód trójkąta ABC

$Obw=10+10+6\sqrt{2}=20+6\sqrt{2}$  

 

b)Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości $6\sqrt{2}$   i ramionach długości 10. Należy obliczyć jego pole.

Najpierw z tw. Pitagorasa liczymy wysokość h tego trójkąta.

$h^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2={10}^2$

$h^2=100-18=82$

$h=\sqrt{82}$

Teraz łatwo możemy policzyć pole trójkąta ABC

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot \sqrt{82}=3\sqrt{164}=3\cdot \sqrt{4\cdot 41}=6\sqrt{41}$

 

III)

 a) Należy obliczyć obwód trójkąta ABC, zatem najpierw musimy wyliczyć długości poszczególnych boków trójkąta.

W podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku a=4, zatem długość odcinka AB wynosi 4.

Odcinek BC jest przekątną ściany bocznej graniastosłupa, czyli prostokąta o wymiarach 4x7.

Liczymy długość odcinka BC korzystając z tw. Pitagorasa

${\left|BC\right|}^2=4^2+7^2=16+49=65$

$\left|BC\right|=\sqrt{65}$

Natomiast odcinek AC jest przeciwprostokątną trójkąta ADC. Policzmy teraz przyprostokątne trójkąta ADC.

Wiemy, że odcinek AD jest wysokością graniastosłupa, zatem |AD|=7.

Natomiast odcinek DC jest przekątną kwadratu o boku a=4. Mamy zatem $\left|DC\right|=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$

Z tw. Pitagorasa zatem łatwo można policzyć długość odcinka AC.

${\left|AC\right|}^2={\left|AD\right|}^2+{\left|DC\right|}^2=7^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2$

${\left|AC\right|}^2=49+32=81$

$\left|AC\right|=9$

Możemy policzyć teraz obwód trójkąta ABC

$Obw=4+\sqrt{65}+9=13+\sqrt{65}$  

 

 b) Trójkąt ABC jest trójkątem o bokach długości $4,\sqrt{65},9.$   Należy obliczyć jego pole.

Zauważmy, że $4^2+{\sqrt{65}}^2=16+65=81=9^2.$

Zatem z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa trójkąt ABC jest prostokątny.

Łatwo teraz policzyć jego pole

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{65}=2\sqrt{65}.$