II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Rozpatrzmy rysunek. Dorysowaliśmy ramię DA oraz AB, tak, aby było widać, iż trójkąty DAC oraz ABC są równoramienne. Policzmy zatem miarę kąta α

Rozwiązanie 1

Ten czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty prostokątne. Jeden z tych trójkątów prostokątnych ma przyprostokątne o długości 5 i 12. Jeśli opiszemy na tym czworokącie okrąg, to będzie to także okrąg opisany na trójkącie prostokątnym. Zatem średnica okręgu opisaneg na czworokącie będzie miała długość przeciwprostokątnej trójkąta. Liczymy z tw. Pitagorasa długość przeciwprostokątnej d2=52+122

Rozważmy czworokąt wyznaczony przez środek okręgu, punkty styczności oraz punkt przecięcia się obu stycznych. Kąt mędzy stycznymi ma miarę 20 stopni. Kąty między promieniami okręgu poprowadzonymi do punktów styczności a stycznymi mają miarę 90 stopni, zatem kąt między promieniami okręgu  poprowadzonymi do punktów styczności policzymy w następujący sposób:

Wyobraźmy sobie promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą k. Mamy wówczas trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 9 i x oraz przeciwprostokątnej długości 15 (9+6). Z tw. Pitagorasa mamy x2+92=152

Widzimy, że przypadku A próba narysowania takiego trójkąta się nie powiedzie, ponieważ punkty styczności leżą za blisko siebie. To samo w przypadku B. W przypadku C dwa boki trójkąta musiałyby być do siebie równoległe co jest niemożliwe. Aby dało się narysować trójkąt którego boki są styczne od okręgu w zaznaczonych punktach, muszą być one rozmieszczone tak, aby dla każdej średnicy okręgu po obu jej stronach znajdowało się przynajmniej po jednym punkcie. Taka sytuacja zachodzi w przypadku D.