II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Korzystamy z dwóch twierdzeń: Jeżeli trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg, to przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu. Jeżli jeden z boków trójkąta wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu, to trójkąt ten jest prostokątny. a) Mamy trójkąt prostokątny wpisany w okrąg, zatem jego przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu. Wyliczmy ją z tw. Pitagorasa a2=62+82=36+64=100 a=10 Promień okręgu ma długość 5. Policzmy pole koła Pk​=Πr2=Π52=25Π Policzmy pole trójkąta. Jest to trójkąt prostokątny, zatem jego przyprostokątne są odpowiednio podstawą i wysokością trójkąta. Pt​=21​⋅6⋅8=24 Szukane pole zacieniowanej figury P=Pk​−Pt​=25Π−24

Rozwiązanie 1

W rozwiązaniu będziemy stosować twierdzenie o tym, iż kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwukrotnie większą od miary kąta wpisanego. a) Kąt wpisany alfa oparty jest na tym samym łuku co kąt środkowy o mierze 160 stopni. Zatem miara kąta alfa wynosi 80 stopni. b) Policzmy miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku, co kąt wpisany alfa. Zauważmy, że narysowany trójkąt o wierzchołku w środku okręgu jest równoramienny (długość ramion jest równa długości promienia okręgu). β=180o−2⋅40o=180o−80o=100o

a)
 Rysujemy odcinki o długości 4, 5 i 6 cm.
Obieramy półprostą o początku A. Na półprostej od punktu A odkładamy odcinek AB długości 6 cm. Mamy wierzchołek B. Z punktu A zakreślamy okrąg o promieniu 4 cm i z punktu B okrąg o promieniu 5 cm. W przecięciu tych okręgów mamy wierzchołek C. Punkt C łączymy z punktami A i B. Mamy trójkąt ABC.
Teraz wystarczy wykreślić symetralne dwóch dowolnych boków trójkąta. 
Konstrukcja symetralnej:
Zakreślamy cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach A oraz B o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka AB. Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.
Prowadzimy prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów.

a)
Rysujemy odcinek AB długości 4 cm.
Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 30 stopni.
Przy wierzchołku B odkładamy kąt o mierze 60 stopni.
Punkt przecięcia ramion kątów oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC. Mamy zadany trójkąt. Jest to trójkąt prostokątny.
Teraz wystarczy wykreślić symetralną dwóch rzeciwprostokątnej trójkąta. 
Konstrukcja symetralnej:
Zakreślamy cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach A oraz B o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka AB. Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.

a)
Rysujemy prostokąt ABCD. Rysujemy przekątną DB. Widzimy, że dzieli ona prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. 
Okrąg opisany na jednym z tych trójkątów będzie okręgiem opisanym na prostokącie. Wiemy, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej trójkąta, zatem wystarczy jedynie wykreślić symetralną  odcinka BD.
Konstrukcja symetralnej:
Zakreślamy cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach B oraz D o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka BD. Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.
Prowadzimy prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów. Punkt przecięcia odcinka BD i symetralnej jest środkiem okręgu opisanego, nazwijmy go O.