Korzystamy z dwóch twierdzeń:

Jeżeli trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg, to przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu.

Jeżli jeden z boków trójkąta wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu, to trójkąt ten jest prostokątny.

a)

Mamy trójkąt prostokątny wpisany w okrąg, zatem jego przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu.

Wyliczmy ją z tw. Pitagorasa

$a^2=6^2+8^2=36+64=100$

$a=10$

Promień okręgu ma długość 5.

Policzmy pole koła

$P_k=\Pi r^2=\Pi 5^2=25\Pi$

Policzmy pole trójkąta. Jest to trójkąt prostokątny, zatem jego przyprostokątne są odpowiednio podstawą i wysokością trójkąta.

$P_t=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$

Szukane pole zacieniowanej figury

$P=P_k-P_t=25\Pi -24$

b) Jeden z boków trójkąta wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu, zatem jest to trójkąt prostokątny. Policzmy przeciwprostokątną (średnicę okręgu) z tw. Pitagorasa

$a^2={12}^2+5^2=144+25=169$

$a=13$

Zatem promień okręgu ma długość 6,5.

Policzmy pole koła

$P_k=\Pi r^2=\Pi {\left(6,5\right)}^2=42,25\Pi$

Policzmy pole trójkąta. Jest to trójkąt prostokątny, zatem jego przyprostokątne są odpowiednio podstawą i wysokością trójkąta.

$P_t=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5=30$

Szukane pole zacieniowanej figury

$P=\frac{1}{2}{P}_k-P_t=21,125\Pi -30$

 c) Jeden z boków trójkąta wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu, zatem jest to trójkąt prostokątny (jest on także równoramienny, bo kąty mają miarę 90,45,45 stopni). Mamy przeciwprostokątną (średnicę okręgu) długości 10, zatem promień okręgu ma długość 5. Należy policzyć przyprostokątne trójkąta. Z jego własności wiemy (trójkąt prostokątny o kątach ostrych 45 i 45 stopni), że

$10=a\sqrt{2}$

$a=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$

Policzmy pole koła

$P_k=\Pi r^2=\Pi 5^2=25\Pi$

Policzmy pole trójkąta. Jest to trójkąt prostokątny, zatem jego przyprostokątne są odpowiednio podstawą i wysokością trójkąta.

$P_t=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{25}{2}\cdot 2=25$

Szukane pole zacieniowanej figury

$2P=\frac{1}{2}{P}_k-P_t=12,5\Pi -25$

$P=6,25\Pi -12,5$  

d) Wiemy, że dla czworokąta wpisanego w okrąg zachodzi taka własność, iż suma jego kątów wewnętrznych naprzeciwległych wynosi 180 stopni. Zatem kąt naprzeciw kąta prostego jest także kątem prostym. Zatem przekątna tego czworokąta dzieli go na dwa trójkąty porostokątne i jest zarazem przeciwprostokątną obu tych trójkątów. Obliczmy jej długość z tw. Pitagorasa

$a^2={12}^2+9^2=144+81=225$

$a=15$

Zatem promień okręgu ma długość 7,5.

Obliczmy pole czworokąta, jako sumę pól obu trójkątów prostokątnych. Są to trójkąty prostokątne, zatem ich przyprostokątne są odpowiednio podstawą i wysokością trójkąta.

$P_{t1}=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}\cdot 5=25\sqrt{2}$

  $P_{t2}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=54$

$P_{cz}=P_{t1}+P_{t2}=25\sqrt{2}+54$

Obliczmy pole koła

$P_k=\Pi r^2=\Pi {\left(7,5\right)}^2=56,25\Pi$

Szukane pole zacieniowanej figury

$P=P_k-P_{cz}=56,25\Pi -25\sqrt{2}-54$