III gimnazjum

Matematyka z plusem 3

Rozwiązanie 1

H=20cm a=10cm Korzystamy z Tw. Pitagorasa, gdzie przyprostokątne to będę wysokość oraz połowa przekątnej podstawy a przeciwprostokątna to będzie długość krawędzi bocznej: (2d​)2+H=c2 d=a2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​

H=53<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​cm V=503<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​cm3

a) Podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 3. Wysokość ostrosłupa ma długość 3. Objętość ostrosłupa: V=31​Pp​⋅H V=31​⋅21​⋅3⋅3⋅3=29​ Objętość sześcianu:

a=4m c=6m Obliczamy wysokość ostrosłupa z Tw. Pitagorasa, gdzie przyprostokątne to wysokość oraz połowa podstawy a przeciwprostokątna to krawędź boczna. H2+(2a​)2=c2 H2+(2)2=62

Rysunek pomocniczy:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23319/k/tWRAuPZypLu/paaQFo5Q%3D%3D_b04c22e8638956ccf3f2cfea2922038181be695dfc3eb2e3a017b7c3a5ee390e.jpg" width="259" height="289"> Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. Niech jedna z dwumetrowych tyczek oznaczona będzie jako DR. Punkt P jest punktem przecięcia wszystkich tyczek. Miara kąta pomiedzy przeciwległymi tyczkami wynosi 60o: ∣∠APD∣=60∘   Zauważmy, że trójkąt APD jest trójkątem równoramiennym, gdyż |AP|=|DP|. Trójkąt ten jest tym samym trójkątem równobocznym (gdyżjest równoramienny, miara kąta przy wierzchołku wynosi 60o, więc każdy z pozostałych kątów, czyli kąt DAP i ADP muszą mieć także 60o).   Obliczamy długość wystającej części tyczki. W podstawie znajduje się sześciokąt foremny, więc podstawę mozna podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Długości boków tych trójkątów wynoszą 90 cm, czyli 0,9 m. Odcinek AD składa się z dwóch odcinków o długości 0,9 m, więc: ∣AD∣=∣AO∣+∣DO∣=0,9 m+0,9 m=1,8 m   Trójkat APD jest trójkątem równobocznym o boku długości 1,8 m. Wszystkie jego boki mają długość 1,8 m: ∣AD∣=∣AP∣=∣DP∣=1,8 m

Najwygodniejszy sposób nauki z edukacyjnym Odrabiamy AI

6