🎓 a) Bryły A i B przedstawione na rysunku obok otrzymano przez sklejenie graniastosłupów prawidłowych- Zadanie 12: Matematyka z plusem 3

Najwygodniejszy sposób nauki z edukacyjnym Odrabiamy AI

Codziennie możesz wysyłać do Odrabiamy AI ponad 100 zdjęć zadań! Do każdego otrzymasz indywidualne rozwiązanie!

Klasa

Przedmiot

Wybierz książkę

Strona 169

12

UWAGA! Oglądasz stare wydanie książki. Kliknij tutaj, aby przejść na stronę główną serwisu odrabiamy.pl

Rozwiązanie

$a)$

Na objętość bryły A składa się objętość graniastosłupa prawidłowego (oznaczmy jako V₁) oraz objętość ostrosłupa prawidłowego (oznaczmy jako V₂).

$V_{A} = V_{1} + V_{2}$

$V_{1}$ $- obj ę to \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} graniastos ł upa$

$V_{2}$ $- obj ę to \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} ostros ł upa$

$V_{1} = P_{p} \cdot H = 4^{2} \cdot 2 = 32$

Obliczmy długość przekątnej podstawy ostrosłupa.

$d = a 2 = 42$

Obliczamy wysokość ostrosłupa, korzystając z tw. Pitagorasa:

$(\frac{d}{2})^{2} + H^{2} = l^{2}$

$(22)^{2} + H^{2} = 6^{2}$

$4 \cdot 2 + H^{2} = 36$

$8 + H^{2} = 36 ∣ - 8$

$H^{2} = 28 ∣$

$H = 28 = 27$

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 27 = \frac{32}{3} 7$

$V_{A} = V_{1} + V_{2} = 32 + \frac{32}{3} 7 = 32 (1 + \frac{7}{3})$

Bryła B:

$V_{1}$ $- obj ę to \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} graniastos ł upa$

$V_{2}$ $- obj ę to \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} ostros ł upa$

$V_{B} = V_{1} + V_{2}$

Podstawą ostrosłupa i graniastosłupa jest trójkąt równoboczny. Obliczmy pole tej podstawy.

$P_{p} = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{9 ^{2} 3}{4} = \frac{81 3}{4} = 20 \frac{1}{4} 3$

$V_{1} = P_{p} \cdot H = \frac{81 3}{4 ^{2}} \cdot 2^{1} = \frac{81 3}{2}$

Do obliczenia długości wysokości ostrosłupa musimy najpierw obliczyć wysokość trójkąta równobocznego będącego jego podstawą, a następnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

$h = \frac{a 3}{2} = \frac{9 3}{2}$

$\frac{2}{3} h = \frac{2 ^{1}}{3 ^{1}} \cdot \frac{9 ^{3} 3}{2 ^{1}} = 33$

$(33)^{2} + H^{2} = 9^{2}$

$3^{2} \cdot 3 + H^{2} = 81$

$9 \cdot 3 + H^{2} = 81$

$27 + H^{2} = 81 ∣ - 27$

$H^{2} = 54 ∣$

$H = 54 = 9 \cdot 6 = 36$

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3 ^{1}} \cdot \frac{81 3}{4} \cdot 3^{1} 6 = \frac{81 3 \cdot 6}{4} = \frac{81 18}{4} = \frac{81 9 \cdot 2}{4} = \frac{81 \cdot 3 2}{4} = \frac{243 2}{4}$

$V = V_{1} + V_{2} = 40 \frac{1}{2} 3 + 60 \frac{3}{4} 2$

$b)$

$V_{C} = V_{1} - V_{2}$

$V_{1} = P_{p} \cdot H$

$P_{p} = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{6 ^{2} \cdot 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93$

$V_{1} = 93 \cdot 8 = 723$

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3 ^{1}} \cdot 9^{3} 3 \cdot 8 = 243$

$V_{C} = 723 - 243 = 483$

$V_{D} = V_{1} - V_{2}$

$V_{1} = P_{p} \cdot H = 6^{2} \cdot 10 = 36 \cdot 10 = 360$

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 60$

$V_{D} = 360 - 60 = 300$

$c)$

Na pole powierzchni całkowitej bryły D składa się pole jednej podstawy i powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego oraz pole boczne ostrosłupa prawidłowego.

Pole podstawy graniastosłupa:

$P_{p} = 6^{2} = 36$

Pole boczne graniastosłupa:

$P_{b} = 4 \cdot 6 \cdot 10 = 240$

Pole boczne ostrosłupa:

$3^{2} + 5^{2} = h^{2}$

$9 + 25 = h^{2}$

$h^{2} = 34 ∣$

$h = 34$

$P_{b} = 4^{2} \cdot \frac{1}{2 ^{1}} \cdot 6 \cdot 34 = 1234$

$P_{c} = 36 + 240 + 1234 = 276 + 1234 = 12 (23 + 34)$

Czy ta odpowiedź Ci pomogła?

Jacek

Nauczyciel matematyki

4133

Nauczam matematyki już dziesięć lat. Szczególnie cenię sobie przygotowywanie uczniów do konkursów matematycznych. W wolnych chwilach ćwiczę grę na saksofonie.