Matematyka

Matematyka z plusem 3 (Podręcznik, GWO)

a) Bryły A i B przedstawione na rysunku obok otrzymano przez sklejenie graniastosłupów prawidłowych 4.52 gwiazdek na podstawie 25 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

a) Bryły A i B przedstawione na rysunku obok otrzymano przez sklejenie graniastosłupów prawidłowych

12
 Zadanie

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie
4
 Zadanie
UWAGA! Oglądasz stare wydanie książki. Kliknij tutaj, aby zobaczyć najnowsze.

`a)` 

Na objętość bryły A składa się objętość graniastosłupa prawidłowego (oznaczmy jako V1) oraz objętość ostrosłupa prawidłowego (oznaczmy jako V2).

`V_"A"=V_1+V_2`

 

`V_1` `"- objętość graniastosłupa "`

`V_2 ` `"- objętość ostrosłupa" `


`V_1=P_p*H=4^2*2=32`

Obliczmy długość przekątnej podstawy ostrosłupa.

`d=asqrt2=4sqrt2`

Obliczamy wysokość ostrosłupa, korzystając z tw. Pitagorasa:

`(d/2)^2+H^2=l^2`

`(2sqrt2)^2+H^2=6^2`

`4*2+H^2=36` 

`8+H^2=36 \ \ \ \ \ |-8` 

`H^2=28 \ \ \ \ \|sqrt` 

`H=sqrt28=2sqrt7` 

 

`V_2=1/3*P_p*H=1/3*4^2*2sqrt7=32/3sqrt7` 

`V_"A"=V_1+V_2=32+32/3sqrt(7)=32(1+sqrt(7)/3)`

 

Bryła B:

`V_1` `"- objętość graniastosłupa "`

`V_2 ` `"- objętość ostrosłupa" `

 

`V_"B"=V_1+V_2`

Podstawą ostrosłupa i graniastosłupa jest trójkąt równoboczny. Obliczmy pole tej podstawy.

`P_p=(a^2sqrt3)/4=(9^2sqrt3)/4=(81sqrt3)/4=20 1/4sqrt3`

`V_1=P_p*H=(81sqrt3)/strike4^2*strike2^1=(81sqrt3)/2` 

Do obliczenia długości wysokości ostrosłupa musimy najpierw obliczyć wysokość trójkąta równobocznego będącego jego podstawą, a następnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

`h=(asqrt3)/2=(9sqrt3)/2` 

`2/3h=strike2^1/strike3^1*(strike9^3sqrt3)/strike2^1=3sqrt3` 

`(3sqrt3)^2+H^2=9^2` 

`3^2*3+H^2=81` 

`9*3+H^2=81` 

`27+H^2=81 \ \ \ \ \ \ \ |-27` 

`H^2=54 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`H=sqrt54=sqrt(9*6)=3sqrt6` 

 

`V_2=1/3*P_p*H=1/strike3^1*(81sqrt3)/4*strike3^1sqrt6=(81sqrt(3*6))/4=(81sqrt18)/4=(81sqrt(9*2))/4=(81*3sqrt2)/4=(243sqrt2)/4`  

`V=V_1+V_2=40 1/2 sqrt(3)+60 3/4sqrt(2)` 

`b)` 

`V_"C"=V_1-V_2`

`V_1=P_p*H` 

`P_p=(a^2sqrt3)/4=(6^2*sqrt3)/4=(36sqrt3)/4=9sqrt3`  

`V_1=9sqrt3*8=72sqrt3` 

`V_2=1/3*P_p*H=1/strike3^1*strike9^3sqrt3*8=24sqrt3` 

 

`V_"C"=72sqrt3-24sqrt3=48sqrt3`

 

` V_"D"=V_1-V_2`

`V_1=P_p*H=6^2*10=36*10=360`

`V_2=1/3*P_p*H=1/3*36*5=60`

` V_"D"=360-60=300`

 

`c)` 

Na pole powierzchni całkowitej bryły D składa się pole jednej podstawy i powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego oraz pole boczne ostrosłupa prawidłowego.

Pole podstawy graniastosłupa:

`P_p=6^2=36` 

Pole boczne graniastosłupa:

`P_b=4*6*10=240` 

Pole boczne ostrosłupa:

 

`3^2+5^2=h^2` 

`9+25=h^2` 

`h^2=34 \ \ \ \ \ \ \ \|sqrt` 

`h=sqrt34` 

`P_b=strike4^2*1/strike2^1*6*sqrt34=12sqrt34` 

`P_c=36+240+12sqrt34=276+12sqrt34=12(23+sqrt34)`

DYSKUSJA
user profile image
Marek

2 dni temu
Dzięki za pomoc :):)
Informacje
Matematyka z plusem 3
Autorzy: Małgorzata Dobrowolska
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Jacek

1254

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Kąty

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi.

Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich początek – wierzchołkiem kąta.

kat-glowne
 


Rodzaje kątów:

  1. Kąt prosty – kąt, którego ramiona są do siebie prostopadłe – jego miara stopniowa to 90°.

    kąt prosty
  2. Kąt półpełny – kąt, którego ramiona tworzą prostą – jego miara stopniowa to 180°.
     

    kąt pólpelny
     
  3. Kąt ostry – kąt mniejszy od kąta prostego – jego miara stopniowa jest mniejsza od 90°.
     

    kąt ostry
     
  4. Kąt rozwarty - kąt większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego – jego miara stopniowa jest większa od 90o i mniejsza od 180°.

    kąt rozwarty
  5. Kąt pełny – kąt, którego ramiona pokrywają się, inaczej mówiąc jedno ramię tego kąta po wykonaniu całego obrotu dookoła punktu O pokryje się z drugim ramieniem – jego miara stopniowa to 360°.
     

    kat-pelny
     
  6. Kąt zerowy – kąt o pokrywających się ramionach i pustym wnętrzu – jego miara stopniowa to 0°.

    kat-zerowy
 
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zobacz także
Udostępnij zadanie