W zadaniu przyjęto oznaczenia:

a - długość krawędzi podstawy

x - połowa długości przekątnej podstawy

H - wysokość ostrosłupa

k - długość krawędzi bocznej

c - wysokość ściany bocznej

 

$\text{a)}a=8,k=7$

Korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta o bokach c, ¹/₂a i k:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+c^2=k^2$

$c^2=k^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2$

$c^2=7^2-{\left(\frac{1}{2}\cdot 8\right)}^2$  

$c^2=49-16=33$   

$c=\sqrt{33}$  

 

$\text{b)}a=6,k=8$  

Obliczamy długość x.

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej w kwadracie.

$2x=a\sqrt{2}$

$2x=6\sqrt{2}$

$x=3\sqrt{2}$  

 

Korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta o bokach H, x i k:

  $H^2+x^2=k^2$  

$H^2=k^2-x^2$  

$H^2=8^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2$  

$H^2=64-18=46$  

$H=\sqrt{46}$  

 

$\text{c)}H=5,k=\sqrt{33}$  

Korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta o bokach H, x i k:

  $H^2+x^2=k^2$  

$x^2=k^2-H^2$  

$x^2={\left(\sqrt{33}\right)}^2-5^2$   

$x^2=33-25=8$  

$x=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$  

Przekątna podstawy ma długość 2x, stąd:

$2x=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

Aby obliczyć długość krawędzi a, korzystamy ze wzoru na długość przekętnej w kwadracie:

$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$   

$a=4$