III gimnazjum

Matematyka z plusem 3

Rozwiązanie 1

rm​−promienˊ małego okręgu   rs​−promienˊ sˊredniego okręgu

Obliczamy promień okręgu o środku w początku układu współrzędnych: ∣AB∣=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.88em' viewBox='0 0 400000 1944' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M983 90
l0 -0
c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000v40
H1013.1s-83.4,268,-264.1,840c-180.7,572,-277,876.3,-289,913c-4.7,4.7,-12.7,7,-24,7
s-12,0,-12,0c-1.3,-3.3,-3.7,-11.7,-7,-25c-35.3,-125.3,-106.7,-373.3,-214,-744
c-10,12,-21,25,-33,39s-32,39,-32,39c-6,-5.3,-15,-14,-27,-26s25,-30,25,-30
c26.7,-32.7,52,-63,76,-91s52,-60,52,-60s208,722,208,722
c56,-175.3,126.3,-397.3,211,-666c84.7,-268.7,153.8,-488.2,207.5,-658.5
c53.7,-170.3,84.5,-266.8,92.5,-289.5z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​

Okręgi sąstyczne gdy: ∣S1​S2​∣=r1​±r2​ ∣S1​S2​∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.88em' viewBox='0 0 400000 1944' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M983 90
l0 -0
c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000v40
H1013.1s-83.4,268,-264.1,840c-180.7,572,-277,876.3,-289,913c-4.7,4.7,-12.7,7,-24,7
s-12,0,-12,0c-1.3,-3.3,-3.7,-11.7,-7,-25c-35.3,-125.3,-106.7,-373.3,-214,-744
c-10,12,-21,25,-33,39s-32,39,-32,39c-6,-5.3,-15,-14,-27,-26s25,-30,25,-30
c26.7,-32.7,52,-63,76,-91s52,-60,52,-60s208,722,208,722
c56,-175.3,126.3,-397.3,211,-666c84.7,-268.7,153.8,-488.2,207.5,-658.5
c53.7,-170.3,84.5,-266.8,92.5,-289.5z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​

Zauważmy, że taśma w odcinku niezakrzywionym jest długości równej dokładnie dwóm promieniom z każdej strony. Stron mamy cztery. Taśma w odcinku zakrzywiony "leży" na łuku koła wyznaczonym przez kąt prosty. Biorąc pod uwagę, że mamy cztery takie sytuację wnioskujemy, że długość zakrzywionej taśmy jest równa długości jednego okręgu o srednicy puszki. Wynika to z faktu że te cztery łuki oparte na kątach prostych możemy zinterpretować jako jeden łuk oparty na kącie równym sumie kątów prostych co daję kat pełny.   l1​−długosˊ tasˊmy niezakrzywionej    l2​−pozostała długosˊcˊ tasˊmy

a)   I. Po umieszczeniu prostej w odległości równej cztery od środka S, ta prosta w żadnym innym swoim punkcie nie będzie bliżej S niż długość cztery. Co oznacza, że nigdy nie będzie miała punktów wspólnych z okręgami o wartości promienia mniejszej niż cztery. Prosta przetnie dwa razy okrąg o promieniu 5 (musi wejść i wyjść z okręgu) oraz musi mieć punkt styczny z okręgiem o promieniu 4.

a) d=4 to przechodzi przez 3 punkty (1 punkt to styczna do okregu o promieniu 4 a pozostale dwa sa na okregu o promieniu 5)

Kwadrat: r=a/2 a=16 P=a2 P=162=256cm2 Trójkąt równoboczny: r=1/3h h=24 h=a23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​

Średnica okręgu to długość przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątną obliczamy z tw. Pitagorasa:

31